Graficando tipos de funciones
Objetivos de aprendizaje
· Graficar funciones lineales.
· Graficar funciones cuadráticas.
· Graficar funciones radicales.
Introducción
Cuando la entrada (variable independiente) y la salida (variable dependiente) son números reales, una función puede representarse en una gráfica de coordenadas. La entrada se grafíca en el eje x y la salida se grafíca en el eje y.
Un primer paso para graficar una función es hacer una tabla de valores. Esta es particularmente útil cuando no conoces la forma general de la función. Probablemente ya sabes que una función lineal será una línea recta, pero hagamos la tabla primero para ver cómo puede ayudarnos.
Cuando hacemos la tabla, es buena idea incluir valores negativos, valores positivos y cero para asegurarnos de que realmente tienes una función lineal.
| Ejemplo | ||||||||||||||
| Problema | Hacer una tabla de valores para f(x) = 3x + 2. | |||||||||||||
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| Traza una tabla de dos columnas. Marca las columnas con x y f(x). | ||||||||||||
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| Escoge varios valores de x y anótalos en filas separadas en la columna x.
Consejo: Siempre es buena idea incluir el 0, valores positivos y valores negativos, si es posible. | ||||||||||||
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| Evalúa la función para cada valor de x y escribe el resultado en la columna f(x) junto al valor de x correspondiente. Cuando x = 0, f(0) = 3(0) + 2 = 2, f(1) = 3(1) + 2 = 5 f(−1) = 3(−1) + 2 = −3 + 2 = −1, etc.
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| Posible Respuesta |
| (Observa que tu tabla de valores podría ser distinta a la de alguien más, pudiste haber escogido otros números para x.) | ||||||||||||
Ahora que tienes la tabla de valores, puedes usarlos para ayudarte a dibujar la forma y la posición de la función. Importante: La gráfica de la función mostrará todos los valores posibles de x y sus valores correspondientes de y. Es por eso que es la gráfica de una recta y no sólo los puntos que están en la tabla.
| Ejemplo | ||||||||||||||
| Problema | Graficar f(x) = 3x + 2. |
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| Empieza con la tabla de valores, como la del ejemplo anterior.
Si piensas en f(x) como y, cada fila forma un par ordenado que puedes graficar en el plano de coordenadas. | ||||||||||||
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| Grafíca los puntos. | ||||||||||||
| Respuesta |
| Como los puntos están sobre una recta, traza la recta que pasa por los puntos. | ||||||||||||
Intentemos otro.
| Ejemplo | ||||||||||||||
| Problema | Graficar f(x) = −x + 1. |
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| f(−2) = − (−2) + 1 = 2 + 1 = 3 f(−1) = − (−1) + 1 = 1 + 1 = 2 f(0) = − (0) + 1 = 0 + 1 = 1 f(1) = − (1) + 1 = −1 + 1 = 0 f(2) = − (2) + 1 = −2 + 1 = −1
| Comienza con la tabla de valores. Puedes escoger distintos valores de x, pero de nuevo, es útil incluir al 0, algunos valores positivos y algunos valores negativos.
Si piensas en f(x) como y, cada fila forma un par ordenado que puedes graficar en el plano de coordenadas. |
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| Grafica los puntos. |
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| Respuesta |
| Como los puntos están sobre una recta, traza la recta que pasa por los puntos. |
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Estas gráficas son representaciones de una función lineal. Recuerda que una función es una correspondencia entre dos variables, como x y y.
| Graficar f(x) = 2x – 1. ¿Cuál de las siguientes gráficas es correcta?
A) B)
C) D)
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, 0). La respuesta correcta es la gráfica D.
Las funciones no lineales también pueden graficarse. Es útil tener una idea de qué forma tendrá, por lo que debes asegurarte de escoger suficientes puntos para guiarte. Empecemos con la función cuadrática más básica, f(x) = x2.
| Ejemplo | ||||||||||||||
| Problema | Graficar f(x) = x2. |
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| Empieza con una tabla de valores. Luego piensa en la tabla como pares ordenados. | ||||||||||||
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| Grafica los puntos. | ||||||||||||
| Respuesta |
| Como los puntos no están en una recta, no puedes usar una regla. Conecta los puntos como mejor puedas, usando una curva suave (no una serie de rectas). Puedes encontrar más puntos para ayudarte (como los que están en azul). | ||||||||||||
Observa que la forma se parece a la letra U. Se llama parábola. Una mitad de la parábola es una imagen como de espejo de la otra mitad. La línea que pasa por el centro se llama línea de reflexión, en este caso esa línea es el eje y.
Las ecuaciones de las funciones cuadráticas tienen la forma f(x) = ax2 + bx + c donde 
. En la gráfica básica de arriba, a = 1, b = 0 y c = 0. Aquí hay algunas gráficas con distintos valores de a, b y c. Observa cómo cada valor cambia la forma y posición de la parábola.
Cambiando a cambia el ancho de la parábola y ya sea que se abre hacia arriba (a > 0) o hacia abajo (a < 0).
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Si no hay término b, cambiar c mueve la parábola de arriba a abajo de tal forma que su intersección en y es (0, c).
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Cambiando b mueve la línea de reflexión. La manera en la que se mueva depende de a.
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| Propiedades de una parábola
Para
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, donde a, b y c son números reales.
, 
).
| Ejemplo | ||||||||||||||
| Problema | Graficar f(x) = −2x2 + 3x – 3. |
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| a = −2, por lo que la gráfica abrirá hacia abajo y será más delgada que f(x) = x2.
c = −3, por lo que se moverá a intersectar el eje y en (0, −3). | Antes de hacer la tabla de valores, observa los valores de a y c para tener una idea general de cómo debe quedar la gráfica. | ||||||||||||
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| Crea la tabla de valores. Observa que en esta tabla, los valores de x aumentan. Los valores de y aumentan y luego comienzan a disminuir. Esto indica una parábola. | ||||||||||||
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| fórmula del vértice = coordenada x del vértice:
coordenada y del vértice:
Vértice: | Para encontrar el vértice de la parábola, usa la fórmula | ||||||||||||
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| Usa la tabla de pares para graficar los puntos. Observa el vértice, | ||||||||||||
| Respuesta |
| Conecta los puntos lo mejor que puedas, usando una curva suave. Recuerda que la parábola está compuesta de dos imágenes como en un espejo, entonces si tus puntos no tienen pares con el mismo valor, querrás incluir puntos adicionales (como los azules). Grafica los puntos en cada lado del vértice. x = | ||||||||||||
son buenos valores para incluir.
| La gráfica de f(x) = −3x2 + 2x – 1 ¿abre hacia arriba o hacia abajo? ¿por qué?
A) Hacia arriba, porque a (el coeficiente de x2) es negativo. B) Hacia abajo, porque a (el coeficiente de x2) es negativo. C) Hacia arriba, porque b (el coeficiente de x) es positivo. D) Hacia abajo, porque b (el coeficiente de x) es positivo.
|
También puedes graficar funciones radicales (como funciones de raíz cuadrada) escogiendo valores para x y encontrando puntos que van en la gráfica. De nuevo, es útil tener una idea de cómo se verá la gráfica.
Piensa en la función básica de la raíz cuadrada, 
. Veamos la tabla de valores para x y y y luego graficaremos la función. (Observa que todos los valores de x en la tabla son cuadrados perfectos. Como estás sacando la raíz cuadrada de x, usar cuadrados perfectos tiene más sentido que sólo encontrar las raíces de 0, 1, 2, 3, 4, etc.)
| x | f(x) |
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 4 | 2 |
| 9 | 3 |
| 16 | 4 |
Recuerda que x no puede ser negativa aquí porque la raíz cuadrada de un número negativo sería imaginaria y los números imaginarios no se pueden graficar. Tampoco hay valores de x que resultarán en una y negativa. Veamos la gráfica.
Al igual que con las parábolas, multiplicar y sumar números provoca cambios, pero la forma básica es la misma. Aquí hay algunos ejemplos.
Multiplicar 
por un valor positivo cambia el ancho de la media parábola. Multiplicar por un número negativo te da la otra mitad de la media parábola horizontal.
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Sumar valores fuera del radical mueve la gráfica hacia arriba o hacia abajo. Piensa esto como sumar el valor al valor básico y de , entonces un valor positivo mueve la gráfica hacia arriba.
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Sumar un valor dentro del radical mueve la gráfica de izquierda a derecha. Piensa en esto como sumar un valor a x antes de sacar la raíz cuadrada — entonces el valor de y se mueve a un valor distinto de x. Por ejemplo, para , la raíz cuadrada es 3 cuando x = 9. Para 
, la raíz cuadrada es 3 cuando x + 1 es 9, entonces x es 8. Cambiar x a x +1 mueve la gráfica hacia la izquierda una unidad (de 9 a 8). Cambiar x a x − 2 mueve la gráfica hacia la derecha dos unidades.
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Observa que conforme x aumenta, sumar o restar un número dentro de la raíz cuadrada ¡tiene menos efecto en el valor de y!
| Ejemplo | ||||||||||||
| Problema | Graficar |
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| Dentro de la raíz cuadrada, estás restando 1, por lo que la gráfica se moverá 1 a la derecha de la gráfica básica
También estás sumando −2 afuera de la raíz cuadrada, por lo que la gráfica se moverá hacia abajo de la gráfica básica | Antes de hacer una tabla de valores, observa la ecuación de la función para tener una idea general de cómo se verá la gráfica.. | ||||||||||
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| Crea una tabla de valores. Escoge valores que faciliten tus cálculos, Quieres que x – 1 sea un cuadrado perfecto (0, 1, 4, 9, etc.) para que puedas sacar la raíz cuadrada.
Como los valores de x menores que 1 hacen negativo el valor dentro de la raíz cuadrada, no habrá puntos en la coordenada gráfica a la izquierda de x = 1. ¡No hay necesidad de escoger valores de x menores que 1 para tu tabla! | ||||||||||
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| Usa la tabla de pares para graficar los puntos. | ||||||||||
| Respuesta |
| Conecta los puntos lo mejor que puedas, usando una curva suave. | ||||||||||
.
| ¿Cuál de las siguientes es la gráfica de
A) B)
C) D)
|
?
está debajo del eje x, en el Cuadrante IV. La gráfica de 
. La gráfica de
Sumario
Crear una gráfica de una función es una manera de entender la relación entre las entradas y las salidas de la función. Crear una gráfica puede hacerse escogiendo valores de x, encontrando los valores de y correspondientes y graficándolos. Esto ayuda a entender la forma básica de la función. Conocer el efecto de los cambios en la función básica también es útil.
Una forma común es la parábola. Las parábolas tienen la ecuación f(x) =ax2 +bx + c , donde a, b y c son números reales y . El valor de a determina el ancho y la dirección de la parábola, mientras que el vértice depende de los valores de a, b y c. El vértice es 
.
