Evaluando funciones

 

Objetivo de aprendizaje

·         Dada una función, descrita por una ecuación, encontrar los valores de la función (salidas) para entradas específicas.

 

En este curso, has trabajado con ecuaciones algebraicas. Muchas de estas ecuaciones son funciones. Por ejemplo y = 4x +1 es una ecuación que representa una función. Cuando metes valores de x, puedes determinar una salida de y. En este caso, si sustituyes x = 10 en la ecuación encontrarás que y debe ser 41; no hay otro valor de y que pueda hacer la ecuación válida.

 

En lugar de usar la variable y, las ecuaciones de funciones pueden escribirse usando notación de función. La notación de función es muy útil cuando trabajas con más de una función y sustituyendo más de una variable para x.

 

Algunas personas piensan en las funciones como “máquinas matemáticas.” Imagina que tienes una máquina que cambia un número de acuerdo con una regla específica, como “multiplica por 3 y luego suma 2” o “divide entre 5, suma 25 y multiplica por −1.” Si pones un número en la máquina, un nuevo número saldrá del otro lado, habiendo cambiado según la regla. El número que entra se llama entrada y el número que sale se llama salida.

 

También puedes llamar a esta función “f” (de función). Si pones x en la caja, sale f(x). Hablando matemáticamente, x es la entrada o la “variable independiente,” y f(x) es la salida o la “variable dependiente,” porque depende del valor de x.

 

f(x)= 4x + 1 está escrita en notación de función y se lee como “f de x es igual a 4x mas 1.” Representa la siguiente situación: Una función llamada f actúa sobre una entrada, x y produce f(x) que es igual a 4x + 1. Esto es lo mismo que la ecuación y = 4x + 1.

 

La notación de función te da más flexibilidad porque no tienes que usar la y para cada ecuación. En su lugar, puedes usar f(x) o g(x) o c(x). Esto puede ser una manera útil de distinguir ecuaciones o funciones cuando trabajas con más de una a la vez.

 

Podrías escribir la fórmula del perímetro, P = 4s, como una función p(x) = 4x y la fórmula del área, A = x², como a(x) = x². Esto haría más fácil graficar ambas funciones en la misma gráfica sin confundir las variables.

 

 

¿Cuál de las ecuaciones representan la misma función?   A) y = 2x – 7  y f(x) = 7 – 2x B) 3x = y – 2  y f(x) = 3x – 2 C) f(x) = 3x2 + 5 y y = 3x2 + 5 D) Ninguna de las anteriores   Mostrar/Ocultar Respuesta A) y = 2x – 7  y f(x) = 7 – 2x Incorrecto. Estas ecuaciones se ven similares pero no son la misma. La primera tiene una pendiente de 2 y una intersección en y de −7. La segunda función tiene una pendiente de −2 y una intersección en y de 7. Sus pendientes son distintas. No producen la misma gráfica, por lo que no son la misma función. La respuesta correcta es f(x) = 3x2 + 5 y y = 3x2 + 5.   B) 3x = y – 2  y f(x) = 3x – 2 Incorrecto. Estas ecuaciones representan dos funciones diferentes. Si reescribes la primera función en términos de y, encontrarás que la ecuación de la función es y = 3x + 2. La respuesta correcta es f(x) = 3x2 + 5 y y = 3x2 + 5.   C) f(x) = 3x2 + 5 y y = 3x2 + 5 Correcto. Las expresiones que siguen f(x) = y y = son las mismas, por lo que estas son dos maneras distintas de escribir la misma función: f(x) = 3x2 + 5 y y = 3x2 + 5.   D) Ninguna de las anteriores Incorrecto. Observa las expresiones siguientes f(x) = y y =. Si las expresiones son la misma, entonces las ecuaciones representan la misma función. La respuesta correcta es f(x) = 3x2 + 5 y y = 3x2 + 5.

 

 

 

Las ecuaciones escritas en notación de función también pueden ser evaluadas. Con la notación de función, podrías ver problemas como este.

 

Dada f(x) = 4x + 1, encontrar f(2).

 

Este problema se lee como: “dada f de x igual a 4x mas uno, encontrar f de 2.” Si bien la notación y las palabras son diferentes, el proceso de evaluar una función es el mismo que evaluar una ecuación: en ambos casos, sustituyes 2 por x, multiplicas por 4 y sumas 1, simplificando obtienes 9. En ambas funciones y ecuaciones, una entrada de 2 resulta en una salida de 9.

 

            f(x) = 4x + 1

            f(2) = 4(2) + 1 = 8 + 1 = 9

 

Puedes simplemente aplicar lo que ya sabes sobres evaluar expresiones para evaluar una función. Es importante notar que los paréntesis que son parte de la función no significan multiplicación. La notación f(x) no significa que f se multiplica por x. Más bien, la notación significa “f de x” o “la función de x” Para evaluar la función, toma el valor dado de x y sustituye ese valor por x en la expresión. Veamos un par de ejemplos.

 

 

 

 

Las funciones también pueden evaluarse para valores negativos de x. Ten en cuenta las reglas de las operaciones con enteros.

 

 

 

 

También te podrían pedir evaluar una función para más de un valor como se muestra en el ejemplo siguiente.

 

 

 

 

Dada g(x) = 4x + 7, encontrar g(−10).   A) −40g + 7 B) −33 C) 4x + 17 D) 47   Mostrar/Ocultar Respuesta A) −40g + 7 Incorrecto. g(−10) significa “g de menos diez” no “g veces menos diez.” Para evaluar la función, sustituye −10 por x. La respuesta correcta es −33.   B) −33 Correcto. g(−10) = 4(−10) + 7 = −40 + 7 = −33.   C) 4x + 17 Incorrecto. Para encontrar g(−10), sustituye −10 por x en el lado derecho de la ecuación y simplifica. La respuesta correcta es −33.   D) 47 Incorrecto. Evalúa la función para g(−10), no g(10). La respuesta correcta es −33.

 

 

Hasta ahora, has evaluado funciones para entradas que han sido constantes. Las funciones también pueden evaluarse para entradas que varían o para expresiones. El proceso es el mismo, pero la respuesta simplificada contiene una variable. Los siguientes ejemplos muestran cómo evaluar una función para una entrada variable.

 

 

 

 

En el siguiente ejemplo, evalúas una función para una expresión. Entonces aquí sustituyes por x toda la expresión y simplificas.

 

 

 

 

La notación de función toma la forma de f(x) = 18x – 10 y se lee como “f de x es igual a 18 x menos 10.” La notación de función puede usar letras además de f, como c(x), g(x) o h(x). Conforme avanzas en tu estudio de las funciones, esta notación te proveerá de más flexibilidad, permitiéndote examinar y comparar distintas funciones más fácilmente. Al igual que las ecuaciones algebraicas escritas con x y y pueden evaluarse para diferentes valores de la entrada x. Para evaluar una función, sustituye los valores de x y simplifica para encontrar la salida relacionada.