Fórmulas racionales y variación

 

Objetivos de aprendizaje

·         Resolver una fórmula para una letra específica.

·         Identificar variación directa, inversa y conjunta.

·         Encontrar la incógnita en un problema de variación.

·         Resolver problemas de aplicación que involucren variación directa.

·         Resolver problemas de aplicación que involucren variación inversa.

·         Resolver problemas de aplicación que involucren variación conjunta.

 

 

Las fórmulas racionales pueden ser herramientas útiles para representar situaciones reales y para encontrar soluciones a problemas cotidianos. Las ecuaciones que representan variaciones, directas, inversas y conjuntas son ejemplos de fórmulas racionales que modelan situaciones del mundo real. Como puedes ver, si puedes encontrar una fórmula, normalmente puedes darle sentido a una situación

 

 

Cuando resolvemos problemas con fórmulas racionales, es útil despejar primero la fórmula para la variable específica. Por ejemplo, los problemas de trabajo piden calcular cuánto tiempo le toma a distintas personas trabajar a diferentes velocidades para realizar un trabajo. Los modelos algebraicos de dichas situaciones implican ecuaciones racionales derivadas de la fórmula del trabajo, W = rt. La cantidad de trabajo hecho (W) es el producto de la velocidad de trabajo (r) y el tiempo invertido en el trabajo (t). Usando álgebra, puedes escribir la fórmula del trabajo de tres maneras:

 

W = rt

 

Encontrar el tiempo (t):  (dividir ambos lados entre r)

 

Encontrar la velocidad (r): (dividir ambos lados entre t)

 

 

 

 

Ahora veamos un ejemplo usando la fórmula del volumen de un cilindro.

 

 

 

 

Las ecuaciones de variación son ejemplos de fórmulas racionales y se usan para describir la relación entre variables. Por ejemplo, imagina un estacionamiento lleno de carros. El número total de llantas en el estacionamiento depende del número total de carros. Algebraicamente, puedes representar esta relación con una ecuación.

 

Número de carros = 4 • número de carros

 

El número 4 te dice la proporción de carros y llantas. Llamamos a esta proporción constante de variación. Es una constante porque este número no cambia. Ya que el número de carros y el número de llantas están ligados por una constante, un cambio en el número de carros causa un cambio proporcional en el número de llantas. Este es un ejemplo de variación directa, donde el número de llantas varía directamente con el número de carros.

 

Puedes usar la ecuación de carros y llantas como base para escribir ecuaciones algebraicas generales que sirvan para todos los ejemplos de variación directa. En el ejemplo, el número de llantas es la salida, 4 es la constante y el número de carros es la entrada. Pongamos estos términos genéricos en la ecuación. Obtienes salida = constante • entrada. Esa es la fórmula para todas las ecuaciones de variación directa..

 

Número de llantas = 4 • número de carros

 

salida = constante • entrada

 

Encontremos una forma general de representar una variación directa. Cuando hablamos de entrada y salida en una ecuación, normalmente podemos llamar esa ecuación una función. A la salida de la función (ecuación) también se le conoce como variable dependiente y generalmente es representada simbólicamente como y. La entrada se llama variable independiente, representada por el símbolo x. Representemos la constante con la letra k, Ahora pongamos esos símbolos en la ecuación.

 

Número de llantas = 4 • número de carros

 

salida = constante • entrada

 

y = kx

 

¡Y ya la tienes! Todas las ecuaciones de variación directa pueden describirse con la ecuación y = kx.

 

Veamos otro ejemplo de variación directa. Mary trabaja en un puesto junto a la granja de pollos de su familia, vende huevos por $1.99 por cartón en los fines de semana. Cuando los clientes compran muchos cartones a la vez, ella debe sumar los totales con papel y lápiz y le preocupa equivocarse. De suerte para Mary, esta es una relación de variación directa, la salida (costo total) es igual a la entrada (número de cartones) por una constante (el precio por cartón). Ella puede usar una ecuación de variación directa para hacer una tabla de precios y usarla como atajo.

 

En este caso, costo total = precio del cartón • número de cartones. Costo total = 1.99 • número de cartones.

 

 

Grafiquemos la función costo/cartón.

 

 

Esta función está hecha de puntos individuales porque el puesto sólo vende cartones individuales. Pero puedes ver que todos los puntos están espaciados uniformemente y parece que forman una recta. También puedes ver que si bien no está en la gráfica, el punto (0,0) satisface la función, el costo de 0 cartones sería de 0 dólares.

 

Ahora veamos la gráfica de la ecuación de variación directa y observar la diferencia con la gráfica anterior. (En la gráfica de la función continua, los puntos de datos individuales existen en cada punto sobre la recta, ¡a diferencia del ejemplo de los huevos donde no tiene sentido hablar del precio de 1.235 cartones de huevos!)

 

Imagina un grifo llena una bañera a un ritmo de 2.5 galones por minuto. La cantidad de agua en la bañera varía directamente con la cantidad de tiempo que el grifo permanece abierto. Puedes representar la relación entre el tiempo y el agua en la bañera con la siguiente fórmula.

 

Total de galones de agua = 2.5 galones de agua/minuto • tiempo en minutos

 

Usando g para representar el total de galones de agua y t para representar el tiempo, puedes abreviar esta relación como g = 2.5t, que se ve muy similar a la fórmula estándar para funciones proporcionales y = kx.

 

Hagamos una tabla para registrar la relación del tiempo contra la cantidad de agua en la bañera. Después de 1 minuto, hay 2.5 galones en la bañera. Después de 2 minutos, el total es de 5 galones, etc. Para encontrar la cantidad total de agua en la bañera en cualquier momento, puedes multiplicar el tiempo por 2.5 galones por minuto. Seis minutos deben darte suficientes puntos para hacer una gráfica útil.

 

 

Ahora puedes graficar los puntos.

 

 

 

Esta vez, usa una recta para conectar los puntos, porque ambos el tiempo y el agua aumentan continuamente. Y observa, los puntos están en una recta que empieza en el origen y se eleva en un ángulo constante, justo como la gráfica anterior. En el ejemplo de los huevos, no tenía sentido comprar 2.5 cartones de huevos, por lo que no dibujabas una recta para conectar los puntos. Pero en el ejemplo del agua, puedes medir el número total de galones después de 2.5 minutos, por lo que conectar los puntos tiene sentido.

 

Cuando las variables en una función cambian a un ritmo constante, tienen una relación proporcional. Este ritmo continuo de cambio se llama constante de variación.

 

 

 

 

¿Qué recta en la gráfica siguiente muestra una variación directa?   A) Línea 1 B) Línea 2 C) Línea 3     Mostrar/Ocultar Respuesta A) Línea 1 Incorrecto. La línea 1 es una recta, pero no pasa por el origen, esto significa que la relación no varía directamente. La respuesta correcta es la recta 3.   B) Línea 2 Incorrecto. La línea 2 es una curva, no una recta, por lo que no puede ser un ejemplo de variación directa. La respuesta correcta es la recta 3.   C) Línea 3 Correcto. La línea 3 es una recta que incluye el origen, lo que la hace un ejemplo de variación directa.

 

 

 

Otro tipo de variación es la variación inversa. En estas ecuaciones, la variable dependiente es igual a la constante dividida entre la variable dependiente. En forma simbólica, esta es la ecuación , donde y es la variable dependiente, k es la constante y x es la variable dependiente. Compárala con la ecuación para una función que tiene una variación directa entre las variables, la fórmula de la variación directa es . La única diferencia es que la variable independiente está ahora en el denominador.

 

Un ejemplo de una variación inversa es la velocidad requerida para viajar entre dos ciudades en un tiempo dado.

 

Digamos que necesitas manejar desde Boston a Chicago, que está a unas 1,000 millas. Entre más tiempo tengas, más lento puedes ir. Si quieres llegar en 20 horas, necesitas viajar a 50 millas por hora (¡asumiendo que no te detienes!), porque . Pero si puedes tardar 40 horas en llegar, sólo tienes que viajar a un promedio de 25 millas por hora, porque .

 

La ecuación para averiguar qué tan rápido viajas en cierto tiempo es . Esta ecuación debe recordarte que la fórmula de la distancia . Si resuelves  para r obtienes o .

 

En el caso del viaje de Boston a Chicago, puedes escribir . Observa que esta es la misma forma que la inversa de la fórmula de la función de variación, .

 

Aquí hay una tabla que muestra varios tiempos y varias velocidades que satisfacen la ecuación:

 

 

Ahora, si graficas estos puntos, verás que la gráfica es definitivamente una curva, no una recta.

 

 

 

 

 

 

 

En una función de variación inversa, ¿qué le pasa a la salida cuando la entrada disminuye?   A) Aumenta. B) Disminuye.   Mostrar/Ocultar Respuesta A) Aumenta. Correcto. Como la salida es una constante dividida entre la entrada, conforme la entrada disminuye, la constante se divide entre un número cada vez más chico. Esto significa que en una función de variación inversa, la salida aumenta continuamente conforme la entrada disminuye.   B) Disminuye. Incorrecto. En una función de variación directa, la salida disminuirá conforma disminuye la entrada, pero sucede lo opuesto en una función de variación inversa. La respuesta correcta es que aumenta.

 

 

Un tercer tipo de variación se llama variación conjunta. La variación conjunta es igual a la variación directa excepto porque hay dos o más cantidades. Por ejemplo, el área de un rectángulo puede encontrarse usando la fórmula A = lw, donde l es el largo del rectángulo y w es el ancho del rectángulo. Si cambias el ancho del rectángulo, entonces el área cambia y si cambias el largo del rectángulo entonces el área también cambia. Puedes decir que el área del rectángulo “varía conjuntamente con el largo y con el ancho del rectángulo.”

 

La fórmula para el volumen de un cilindro,  es otro ejemplo de variación conjunta. El volumen del cilindro varía conjuntamente con el cuadrado del radio y la altura del cilindro. La constante de variación es .

 

 

 

 

Encontrar que k es  no debería sorprendernos. Sabes que el área de un triángulo es un medio de la base por la altura, . ¡El  en esta fórmula e exactamente el mismo  que calculaste en este ejemplo!

 

 

Variación directa, inversa y conjunta   k es la constante de variación. En todos los casos, k ≠ 0. Variación directa: y = kx Variación inversa: Variación conjunta: y = kxz

 

Es importante ser capaz de distinguir si una aplicación varía directa, inversa o conjuntamente.

 

Una roca que pesa 120 lb en la Tierra pesa 20 lb en la superficie de la Luna. De manera similar, un astronauta que pesa 240 lb en la Tierra pesará 40 lb en la Luna. ¿Es este un ejemplo de variación directa, inversa o conjunta?   A) Variación directa B) Variación inversa C) Variación conjunta   Mostrar/Ocultar Respuesta A) Variación directa Correcto. Los pesos revelan una variación directa. Si el peso de un objeto se eleva en la Tierra, también se eleva su peso en la Luna.   B) Variación inversa Incorrecto. Si esta fuera una relación inversa, entonces si el peso de un objeto en la Tierra se eleva, su peso en la superficie de la Luna debería disminuir. Este no es el caso. La respuesta correcta es variación directa.   C) Variación conjunta Incorrecto. El problema sólo nos da dos variables: una entrada (el peso en la Tierra) y una salida (el peso en la Luna). Si fuera un ejemplo de variación conjunta, habría más variables. La respuesta correcta es variación directa.

Las fórmulas racionales pueden resolver una variedad de problemas que involucran ritmos, tiempos y trabajo. Las ecuaciones de variación directa, inversa y conjunta son ejemplos de fórmulas racionales. En la variación directa, las variables tienen una relación directa, conforme una cantidad aumenta, la otra cantidad también aumenta. Conforme una cantidad disminuye, la otra cantidad disminuye. En una variación inversa, las variables tienen una relación inversa, conforme una cantidad aumenta, la otra disminuye y vice versa. La variación conjunta es igual a la variación directa excepto que hay dos o más variables.