Notación Científica

 

Objetivos de Aprendizaje

·         Convertir entre notación científica y notación decimal.

·         Multiplicar y dividir usando notación científica.

·         Resolver problemas de aplicación.

 

Introducción

 

Cuando trabajan con números muy grandes o muy pequeños, los científicos, matemáticos, e ingenieros normalmente usan la notación científica para expresar dichas cantidades. La notación científica usa la notación exponencial. Los siguientes ejemplos muestran la notación científica.

 

Año luz: El número de millas que viaja la luz en el transcurso de un año, alrededor de 5,880,000,000,000

            La notación científica es 5.88 x 1012 millas.

 

Átomo de Hidrógeno: tiene un diámetro de alrededor de 0.00000005 mm

La notación científica es 5 x 10-8 mm

 

El cálculo de números muy grandes es más fácil si usamos la notación científica.

 

Aprendiendo a Usar la Notación Científica

 

Cuando un número se escribe en notación científica, el exponente te dice si el término es un número muy grande o muy pequeño. Un exponente positivo indica un número grande y un exponente negativo indica un número muy pequeño que está entre 0 y 1.

 

Como es tan útil, veamos más a detalle el formato de la notación científica.

 

Notación Científica

Un número positivo está escrito en notación científica si presenta la forma a x 10n donde el coeficiente a tiene un valor tal que 1 ≤ a < 10 y n es un entero.

 

Observa los números siguientes. ¿Cuál de los números está escrito en notación científica?

 

Número

¿Notación Científica?

Explicación

1.85 x 10-2

sí

1 ≤1.85 < 10

 

-2 es un entero

no

 no es un entero

0.82 x 1014

no

0.82 no es ≥ 1

10 x 103

no

10 no es < 10

 

 

¿Cuál de los números está escrito en notación científica?

 

A) 4.25 x 100.08

 

B) 0.425 x 107

 

C) 42.5 x 105

 

D) 4.25 x 106

 

 

Mostrar/Ocultar Respuesta

A) 4.25 x 100.08

Incorrecto. El exponente debe ser un entero y 0.08 no es un entero. La respuesta correcta es 4.25 x 106.

 

B) 0.425 x 107

Incorrecto. Esto no es notación científica porque 0.425 es menor que 1. La respuesta correcta es es 4.25 x 106.

 

C) 42.5 x 105

Incorrecto. Esta no es notación científica porque 42.5 es mayor que 10. La respuesta correcta es 4.25 x 106.

 

D) 4.25 x 106

Correcto. Esta es notación científica. 4.25 es mayor que uno y menor que 10, y 6 es un entero.

 

 

 

Escribiendo Notación Decimal en Notación Científica

 

Ahora comparemos algunos ejemplos de números expresados en notación científica y en notación decimal estándar para entender cómo se convierte de uno al otro. Observa las tablas siguientes, Pon atención al exponente en la notación científica y la posición del punto decimal en la notación decimal.

 

Números Grandes

 

Números Chicos

Notación Decimal

Notación Científica

 

Notación Decimal

Notación Científica

500.0

5 x 102

 

0.05

5 x 10-2

80,000.0

8 x 104

 

0.0008

8 x 10-4

43,000,000.0

4.3 x 107

 

0.00000043

4.3 x 10-7

62,500,000,000.0

6.25 x 1010

 

0.000000000625

6.25 x 10-10

 

 

Para escribir un número grande en notación científica, movemos el punto decimal a la izquierda hasta obtener un número entre 1 y 10. Como mover el punto decimal cambia el valor, es necesario multiplicar el decimal por una potencia de 10 para que la expresión conserve su valor.

 

Veamos un ejemplo.

180,000. =      18,000.0  x  101

                                                              1,800.00  x 102

                                                                 180.000 x 103

                                                                   18.0000 x 104

                                                                     1.80000 x 105

 

                                    180,000 = 1.8 x 105

 

Observa que el punto decimal fue movido 5 lugares hacia la izquierda, y el exponente es 5.

 

 

La población mundial se estima en alrededor de 6,800,000,000 personas. ¿Qué respuesta expresa este número en notación científica?

 

A) 7 x 109

 

B) 0.68 x 1010

 

C) 6.8 x 109

 

D) 68 x 108

 

Mostrar/Ocultar Respuesta

A) 7 x 109

Incorrecto. La notación científica reescribe los números, no los redondea. La respuesta correcta es 6.8 x 109.

 

B) 0.68 x 1010

Incorrecto. Si bien 0.68 x 1010 es equivalente a 6,800,000,000. 0.68 no está en notación científica ya que 0.68 no está entre 1 y 10. La respuesta correcta es 6.8 x 109.

 

C) 6.8 x 109

Correcto. El número 6.8 x 109 es equivalente a 6,800,000,000 y usa el formato apropiado para cada factor.

 

D) 68 x 108

Incorrecto. Si bien 68 x 108 es equivalente a 6,800,000,000, no está escrito en notación científica ya que 68 no está entre 1 y 10. La respuesta correcta es 6.8 x 109.

 

 

 

Pregunta Avanzada

Representa 1.00357 x 10-6 en forma decimal.

 

A) 1.00357000000

B) 0.000100357

C) 0.000001357

D) 0.00000100357

 

Mostrar/Ocultar Respuesta

A) 1.00357000000

Incorrecto. Sumaste seis 0s al final del decimal. Esto no cambia su valor; 1.00357000000 = 1.00357, lo cual es distinto de 1.00357 x 10-6. La respuesta correcta es 0.00000100357.

                                                                                                                     

B) 0.000100357

Incorrecto. Moviste el punto decimal en la dirección correcta, pero no lo moviste los lugares necesarios. La respuesta correcta es 0.00000100357.

 

C) 0.000001357

Incorrecto. Moviste el punto decimal el número de espacios correctos, pero el número que creaste es distinto al número con el que empezaste: 1.00357 x 10-6 ≠ 0.000001357. Recuerda que los ceros entre 1 y 3 también deben ser incluidos en el número final. La respuesta correcta es 0.00000100357.

 

D) 0.00000100357

Correcto. El exponente es -6. Moviste el punto decimal 6 lugares hacia la izquierda, creando el decimal 0.00000100357.

 

 

Para escribir un número pequeño (entre 0 y 1) en notación científica, debes mover el punto decimal hacia la derecha y el exponente debe ser negativo.

 

                              0.00004     =        00.0004   x  10-1

                                                000.004   x  10-2

                                                            0000.04   x   10-3

                                                            00000.4   x  10-4

                                                            000004.  x  10-5

 

                                        0.00004     =   4 x 10-5

 

Podrías notar que el punto decimal fue movido cinco lugares hacia la derecha hasta que obtuviste el número 4, que está entre 1 y 10. El exponente es −5.

 

 

Escribiendo Notación Científica en Notación Decimal

 

También puedes escribir notación científica como notación decimal. Por ejemplo, el número de millas que viaja la luz en un año es 5.88 x 1012, y el átomo de Hidrógeno tiene un diámetro de 5 x 10-8 mm. Para escribir estos números en notación decimal, mueves el punto decimal el mismo número de lugares que el exponente. Si el exponente es positivo, mueves el punto decimal a la derecha. Si el exponente es negativo, mueves el punto decimal a la izquierda.

 

 

Por cada potencia de 10, mueves el punto decimal un lugar. Ten cuidado aquí y no te dejes llevar con los ceros — el número de ceros después del punto decimal siempre será 1 menos que el exponente porque se necesita una potencia de 10 para mover ese primer número a la izquierda del decimal.

 

 

Reescribe 1.57 x 10-10 en notación decimal.

 

A) 15,700,000,000

 

B) 0.000000000157

 

C) 0.0000000000157

 

D) 157 x 10-12

 

 

Mostrar/Ocultar Respuesta

A) 15,700,000,000

Incorrecto. Moviste el punto decimal en la dirección equivocada. El exponente es negativo, entonces para convertir a formato decimal mueves el punto decimal a la izquierda, no a la derecha. La respuesta correcta es 0.000000000157.

 

B) 0.000000000157

Correcto. La expresión tiene un exponente negativo, entonces mueves el punto decimal 10 lugares a la izquierda para convertirlo a notación decimal, 0.000000000157.

 

C) 0.0000000000157

Incorrecto. Pusiste 10 ceros entre el número y el punto decimal. Mas bien, mueve el punto decimal 10 lugares a la izquierda. La respuesta correcta es 0.000000000157.

 

D) 157 x 10-12

Incorrecto. Este número es equivalente al número original, pero no está en notación decimal. La respuesta correcta es 0.000000000157.

 

 

 

Multiplicando y Dividiendo Números Expresados en Notación Científica

 

Los números escritos en notación científica pueden ser multiplicados y divididos de manera simple tomando ventaja de las propiedades de los números y de las reglas de los exponentes. Para multiplicar números en notación científica, primero multiplica los números que no son potencias de 10 (la a en a x 10n). Luego multiplica las potencias de diez sumando los exponentes.

 

Esto producirá un nuevo número por una potencia de 10 distinta. Todo lo que tienes que hacer es comprobar que este nuevo valor esté en notación científica. Si no lo está, lo conviertes.

 

Veamos algunos ejemplos.

 

 

Ejemplo

Problema

(3 x 108)(6.8 x 10-13)

 

 

 

(3 x 6.8)(108 x 10-13)

Reagrupa, usando las propiedades conmutativa y asociativa.

 

 

(20.4)(108 x 10-13)

 

 

Multiplica los coeficientes.

 

20.4 x 10-5

Multiplica las potencias de 10, usando la regla de los productos — suma los exponentes.

 

(2.04 x 101) x 10-5

Convierte 20.4 a notación científica moviendo el punto decimal un lugar a la izquierda y multiplicando por 101.

 

2.04 x (101 x 10-5)

Agrupa las potencias de 10 usando la propiedad asociativa de la multiplicación.

 

2.04 x 101+(-5)

Multiplica usando la regla del producto — suma los exponentes.

Respuesta

(3 x 108)(6.8 x 10-13) = 2.04 x 10-4

 

 

Ejemplo Avanzado

Problema

(8.2 x 106)(1.5 x 10-3)(1.9 x 10-7)

 

 

(8.2 x 1.5 x 1.9)(106 x 10-3 x 10-7)

Reagrupa, usando las propiedades conmutativa y asociativa.

 

(23.37) (106 x 10-3 x 10-7)

 

 

Multiplica los números.

 

23.37 x 10-4

Multiplica las potencias de 10, usando la regla de los productos — suma los exponentes.

 

(2.337 x 101) x 10-4

Convierte 23.37 a notación científica moviendo el punto decimal un lugar a la izquierda y multiplicando por 101.

 

2.337 x (101 x 10-4)

Agrupa las potencias de 10 usando la propiedad asociativa de la multiplicación.

 

2.337 x 101+(-4)

Multiplica usando la regla del producto — suma los exponentes.

Respuesta

(8.2 x 106)(1.5 x 10-3)(1.9 x 10-7) = 2.337 x 10-3

 

 

Para dividir números en notación científica, una vez más puedes aplicar las propiedades de los número y las reglas de los exponentes. Empiezas dividiendo los números que no son potencias de 10 (la a en a x 10n). Luego divide las potencias de diez restando los exponentes.

 

Esto producirá un nuevo número por una potencia de 10 distinta. Todo lo que tienes que hacer es comprobar que este nuevo valor esté en notación científica. Si no lo está, lo conviertes.

 

Veamos algunos ejemplos.

 

 

Ejemplo

Problema

 

 

Reagrupa, usando la propiedad asociativa.

 

(0.82)

 

Divide los coeficientes.

 

0.82 x 10-9 – (-3)

 

0.82 x 10-6

Divide las potencias de 10, usando la regla del cociente — resta los exponentes.

 

(8.2 ´ 10-1) x 10-6

Convierte 0.82 a notación científica moviendo el punto decimal un lugar a la derecha y multiplicando por 10-1.

 

8.2 ´ (10-1 x 10-6)

Agrupa las potencias de 10 usando la propiedad asociativa de la multiplicación.

 

8.2 x 10-1+(-6)

Multiplica usando la regla del producto — suma los exponentes.

Respuesta

 

 

 

Ejemplo Avanzado

Problema

 

Reagrupa los términos en el numerador de acuerdo con las propiedades asociativa y conmutativa.

Multiplica.

Reagrupa, usando la propiedad asociativa

 

Divide los números.

 

Divide las potencias de 10 usando la regla del cociente — resta los exponentes.

Respuesta

 

 

Observa que cuando divides términos exponenciales, restas el exponente en el denominador del exponente en el numerador.

 

 

Evalúa (4 x 10-10)(3 x 105) y expresa el resultado en notación científica.

 

A) 1.2 x 10-4

 

B) 12 x 10-5

 

C) 7 x 10-5

 

D) 1.2 x 10-50

 

 

Mostrar/Ocultar Respuesta

A) 1.2 x 10-4

Correcto. 1.2 x 10-4 es un cálculo exacto y la notación científica es correcta.

 

B) 12 x 10-5

Incorrecto. Casi correcto, pero ahora tienes que convertir el coeficiente 12 a notación científica. 12 es mayor que 10 y la notación científica requiere que este número sea mayor o igual a 1 y menor que 10. La respuesta correcta es 1.2 x 10-4.

 

C) 7 x 10-5

Incorrecto. Debes multiplicar los números 4 y 3, no sumarlos. La respuesta correcta es 1.2 x 10-4.

 

D) 1.2 x 10-50

Incorrecto. Debes sumar los exponentes, no multiplicarlos. La respuesta correcta es 1.2 x 10-4.

 

 

 

Pregunta Avanzada

Evalúa (3.15 x 104)(5.15 x 10-7) y expresa el resultado como un decimal.

 

A) 0.0162225

B) 162225

C) 0.000162225

D) 16.2225

 

Mostrar/Ocultar Respuesta

A) 0.0162225

Correcto. 3.15 x 5.15 = 16.2225, y 104 x 10-7 = 10-3. El exponente es negativo, por lo que para convertir a formato decimal debes mover el punto decimal tres espacios a la izquierda y obtener el valor 0.0162225.

 

B) 162225

Incorrecto. La expresión tiene un exponente negativo, entonces mueves el punto decimal 3 lugares a la izquierda, no a la derecha, para convertir a notación decimal. La respuesta correcta es 0.0162225.

 

C) 0.000162225

Incorrecto. Moviste el punto decimal en la dirección correcta, pero no el número correcto de lugares. Recuerda que 104 x 10-7 = 10-3, por lo que debes mover el punto decimal tres lugares a la izquierda. La respuesta correcta es 0.0162225.

 

D) 16.2225

Incorrecto. 3.15 x 5.15 = 16.2225, pero parece que olvidaste multiplicar 104 x 10-7. La respuesta correcta es 0.0162225.

 

 

 

Sumario

 

La notación científica se desarrolló para ayudar a los matemáticos y científicos para expresar y trabajar con números muy grandes y muy pequeños. La notación científica sigue un formato muy específico en el que un número se expresa como el producto de un número mayor o igual a uno y menor que diez, y una potencia de 10. El formato se escribe como a x 10n, donde 1 ≤ a < 10 y n es un entero.

 

Para multiplicar o dividir números en notación científica, puedes usar las propiedades conmutativa y distributiva para agrupar los términos exponenciales juntos y aplicar las reglas de los exponentes.