Resolviendo Ecuaciones de Varios Pasos
Objetivos de Aprendizaje
· Usar las propiedades de la igualdad para despejar variables y resolver ecuaciones algebraicas.
· Usar las propiedades de la igualdad y la propiedad distributiva para resolver ecuaciones con paréntesis, fracciones, y/o decimales.
Introducción
Hay algunas ecuaciones que puedes resolver fácilmente en tu cabeza. Por ejemplo – ¿cuál es el valor de y en la ecuación 2y = 6? Seguramente no necesitaste traer papel y lápiz para calcular que y = 3. Sólo necesitaste hacer una cosa para obtener la respuesta, dividir 6 entre 2.
Otras ecuaciones son más complicadas. ¡Resolver 
sin escribir nada es difícil! Esto es porque la ecuación no sólo contiene una variable, también contiene fracciones y términos dentro del paréntesis. Esta es una ecuación de varios pasos, es decir, se necesitan varios pasos para resolverla. Aunque las ecuaciones de varios pasos toman más tiempo y más operaciones, también se pueden simplificar y resolver aplicando las mismas reglas algebraicas básicas.
Recuerda que puedes pensar en una ecuación como una balanza, con el objetivo de reescribir la ecuación para que sea más fácil resolverla pero manteniéndola balanceada. La propiedad aditiva de la igualdad y la propiedad multiplicativa de la igualdad te explican cómo puedes mantener la balanza, o la ecuación, balanceada. Siempre que realizas una operación a un lado de la ecuación, si aplicas exactamente la misma operación al otro lado, mantendrás iguales ambos lados de la ecuación.
Si la ecuación está en la forma, ax + b = c, donde x es la variable, puedes resolver la ecuación como antes. Primero “deshaces” la suma o la resta, y luego “deshaces” la multiplicación o la división.
| Ejemplo | ||
| Problema | Resolver 3y + 2 = 11. | |
|
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| Resta 2 de ambos lados de la ecuación para dejar solo el término de la variable.
Divide ambos lados de la ecuación entre 3 para obtener un coeficiente de 1 para la variable. |
| Respuesta | y = 3 |
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| Ejemplo | ||
| Problema | Resolver | |
|
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| Suma 2 de ambos lados de la ecuación para dejar solo el término de la variable.
Multiplica ambos lados de la ecuación por 4 para obtener un coeficiente de 1 para la variable. |
| Respuesta | x = 20 |
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Si la ecuación no tiene la forma, ax + b = c, necesitarás realizar pasos adicionales para dejar la ecuación de esta forma.
En el ejemplo de abajo, hay varios grupos de términos semejantes. Primero debes combinar todos los términos semejantes.
| Ejemplo | ||
| Problema | Resolver 3x + 5x + 4 – x + 7 = 88. | |
|
| Hay tres términos semejantes 3x, 5x y –x con una variable.
Combina los términos semejantes. 4 y 7 también son términos semejantes y pueden sumarse. La ecuación ahora tiene la forma ax + b = c. Entonces, podemos resolverla como antes.
Resta 11 de ambos lados.
Divide ambos lados entre 7. | |
| Respuesta | x = 11 |
|
Algunas ecuaciones podrían tener la variable a ambos lados del signo igual. Necesitamos “mover” uno de los términos para resolver la ecuación.
| Ejemplo | ||
| Problema | Resolver 6x + 5 = 10 + 5x. Comprobar la solución. | |
|
| Esta ecuación tiene términos x a ambos lados izquierdo y derecho. Para resolver una ecuación como esta, primero debes tener todas las variables del mismo lado del signo igual.
Puedes restar 5x de cada lado del signo igual, lo que resulta en la nueva ecuación: x + 5 = 10. ¡Esta es una ecuación de un paso!
Resta 5 de ambos lados. | |
| Comprobar |
| Comprueba tu solución sustituyendo 5 por x en la ecuación original.
Este es un enunciado válido, entonces la solución es correcta. |
| Respuesta | x = 5 |
|
Aquí hay algunos pasos a seguir cuando resolvemos ecuaciones de varios pasos.
| Resolviendo Ecuaciones de Varios Pasos
1. Si es necesario, simplifica las expresiones a cada lado de la ecuación, incluyendo la combinación de términos semejantes. 2. Pasa todos los términos de variables a un lado y todos los números al otro lado usando la propiedad aditiva de la igualdad. (ax + b = c o c = ax + b) 3. Despeja los términos de variables usando la operación inversa o el inverso aditivo (opuesto) usando la propiedad aditiva de la igualdad. 4. Despeja la variable usando la operación inversa o el inverso multiplicativo (recíproco) usando la propiedad multiplicativa de la igualdad para escribir la variable con un coeficiente de 1. 5. Comprueba tu solución sustituyendo el valor de la variable en la ecuación original. |
|
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Los ejemplos siguientes ilustran esta secuencia de pasos.
| Ejemplo | |||
| Problema | Resolver y. -20y + 15 = 2 - 16y + 11 |
| |
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| Paso 1. Combina los términos comunes del lado derecho: 2 + 11 = 13.
Paso 2. Suma 20y a ambos lados para eliminar el término de variable del lado izquierdo de la ecuación.
Paso 3. Resta 13 de ambos lados.
Paso 4. Divide 4y entre 4 para resolver y. | ||
| Comprobar |
| Paso 5. Comprueba tu respuesta sustituyendo | |
| Respuesta |
|
| |
por y en la ecuación original. El enunciado 5 = 5 es válido, entonces y = 
| Ejemplo Avanzado | |||
| Problema | Resolver 3y + 10.5 = 6.5 + 2.5y. Comprobar la solución. | ||
|
| Esta ecuación tiene términos y en ambos lados izquierdo y derecho. Para resolver una ecuación como esta, primero debes pasar todas las variables al mismo lado del signo igual. | ||
|
| Suma -2.5y a ambos lados de la ecuación para que las variables queden en un solo lado. | ||
|
| Ahora despeja la variable restando 10.5 de ambos lados. | ||
|
| Multiplica ambos lados por 10 para que 0.5y se vuelva 5y, luego divide entre 5. | ||
| Comprobar |
| Comprueba tu solución sustituyendo -8 por y en la ecuación original. Este es un enunciado válido, entonces la solución es correcta. | |
| Respuesta | y = -8 |
| |
| Pregunta Avanzada Identifica el paso que no llevará a una solución correcta del problema.
A) Multiplica por 2 ambos lados de la ecuación. B) Suma C) Suma D) Reescribe
|
a ambos lados de la ecuación.
al lado izquierdo, y suma 
al lado derecho.
como 
.
. Esto llevará a la solución correcta. El paso que no llevará a la solución correcta es: Sumar 
. Esto llevará a la solución correcta. El paso que no llevará a la solución correcta es: Sumar
Ecuaciones de varios pasos más complejas pueden tener símbolos adicionales. Los pasos anteriores pueden seguir usándose. Si hay paréntesis, usas la propiedad distributiva de la multiplicación como parte del Paso 1 para simplificar la expresión. Luego resuelves como antes.
| La Propiedad Distributiva de la Multiplicación |
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Para todos los números reales a, b, y c, a(b + c) = ab + ac.
|
Lo que esto significa es que cuando un número multiplica una expresión entre paréntesis, puedes distribuir la multiplicación a cada término individualmente, Luego, puedes seguir la rutina de pasos descrita para despejar la variable para resolver la ecuación.
| Ejemplo | |||
| Problema | Resolver a. 4(2a + 3) = −3(a − 1) + 31 | ||
|
| Aplica la propiedad distributiva para expandir 4(2a + 3) a 8a + 12 y −3(a – 1) a −3a + 3.
Combina los términos similares.
Suma 3a a ambos lados para mover los términos de variables a un sólo lado.
Resta 12 para despejar el término de variable.
Divide ambos términos entre 11 para tener un coeficiente de 1. | ||
| Respuesta | a = 2 |
| |
| ¿En cuál de las siguientes ecuaciones se aplicó la propiedad distributiva a la ecuación 2(y +3) = 7?
A) y + 6 = 7 B) 2y + 6 = 14 C) 2y + 6 = 7 D) 2y + 3 = 7
|
Si prefieres no trabajar con fracciones, puedes usar la propiedad multiplicativa de la igualdad para multiplicar ambos lados de la ecuación por un denominador común de todas las fracciones en la ecuación. Veamos los ejemplos siguientes.
| Ejemplo | ||
| Problema | Resolver | |
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| Multiplica por 4 ambos lados de la ecuación, el común denominador de los coeficientes fraccionales.
Usa la propiedad distributiva para expandir las expresiones a ambos lados.
Multiplica.
Suma 3x a ambos lados para mover los términos de variable a sólo un lado. Suma 12 a ambos lados para mover los términos constantes al otro lado.
Divide para despejar la variable.
| |
| Respuesta |
|
|
Claro, si quieres trabajar con fracciones, puedes simplemente aplicar tu conocimiento de las operaciones con fracciones y resolver.
| Ejemplo | ||||
| Problema | Resolver |
| ||
|
| Suma
Suma 3 a ambos lados para pasar los términos constantes al otro lado.
Para tener un coeficiente 1, multiplica el término de variable por su inverso multiplicativo.
| |||
| Respuesta |
|
| ||
| Ejemplo Avanzado | ||
| Problema | Resolver | |
|
| Resolver la ecuación tomará varios pasos. Comienza evaluando 32 = 9. | |
|
| Ahora distribuye el | |
|
| Multiplica por 8 ambos lados de la ecuación, el común denominador de las fracciones en el problema. Usa la propiedad distributiva para expandir la expresión del lado izquierdo.
Luego elimina un factor de 1 de ambos lados. En la izquierda, puedes pensar en | |
|
| Continúa resolviendo a usando la propiedad distributiva.
Luego despeja la variable, y resuelve el resto del problema. | |
| Comprobar
|
Comprueba tu solución sustituyendo
Este es un enunciado válido, entonces la solución es correcta. | |
| Respuesta |
|
|
. En la derecha, puedes pensar en
.
por a en la ecuación original.
| Para eliminar las fracciones en
3 6 9 27
A) 9 B) 9 o 27 C) 6 D) 3 o 9
|
, ¿por qué números podemos multiplicar ambos lados de la ecuación?
y 
, también lo es el 27. Cualquier denominador funcionará, no sólo el menor. La respuesta correcta es 9 y 27.
Sin importar qué método usas para resolver ecuaciones con variables, obtendrás la misma respuesta. ¡Puedes elegir el método que te parezca más fácil! Recuerda comprobar tu respuesta sustituyendo tu solución en la ecuación original.
De la misma forma que puedes eliminar fracciones en una ecuación, también puedes eliminar decimales. Encuentra un común denominador y usa la propiedad multiplicativa de la igualdad para multiplicar ambos lados de la ecuación.
| Ejemplo | ||
| Problema | Resolver 0.4x – 0.25 = 1.75 eliminando primero los decimales. | |
|
| 0.4 ( tienen común denominador 100.
Multiplica ambos lados por 100.
Aplica la propiedad distributiva para eliminar los paréntesis. Resuelve como antes, Suma 25 a ambos lados.
Divide ambos lados entre 40. | |
| Comprobar: |
| Sustituye x = 5 en la ecuación original.
Evalúa. La solución es correcta. |
| Respuesta |
|
|
) y 0.25 (
) y 1.75 (
) 
| Pregunta Avanzada Resolver a:
A) a = 2 B) a = 1 C) a = 0 D) a = -2
|
. La nueva ecuación será 
, que se reduce a 
. La respuesta correcta es: a = 1.
puede escribirse como 
. Resulta a = 1.
, entonces 
. Esto no es válido. La respuesta correcta es: a = 1.
Sumario
Las ecuaciones complejas normalmente requieren varios pasos para resolverlas. Antes de que puedas despejar la variable, podrías necesitar simplificar la ecuación. Esto implica usar la propiedad distributiva para eliminar paréntesis, o multiplicar ambos lados de la ecuación por un común denominador para eliminar las fracciones. Algunas veces requieres ambas técnicas.
