Círculos

 

Objetivos de aprendizaje

·         Identificar las propiedades de los círculos.

·         Encontrar la circunferencia de un círculo.

·         Encontrar el área de un círculo.

·         Encontrar el área y el perímetro de figuras geométricas compuestas.

 

 

Los círculos son una figura común. Los vemos en todos lados — las ruedas de un carro, Frisbees volando por el aire, discos compactos conteniendo datos. Todos estos son círculos.

 

Un círculo es una figura de dos dimensiones al igual que los polígonos y los cuadriláteros. Sin embargo, los círculos se miden de manera distinta — incluso debes usar diferentes términos para describirlos. Estudiemos esta figura tan interesante.

 

 

Un círculo representa un conjunto de puntos, todos ellos a una misma distancia de un punto específico. Este punto se llama centro. La distancia del centro del círculo a cualquier punto del círculo se llama radio.

 

Cuando juntamos dos radios para formar un sólo segmento de recta cruzando el círculo, tenemos un diámetro. El diámetro de un círculo pasa por el centro del círculo y tiene sus puntos extremos en el círculo.

 

 

El diámetro de cualquier círculo es dos veces la longitud del radio del círculo. Se puede representar por la expresión 2r, o “el doble del radio.” Entonces si conocemos el radio del círculo, podemos multiplicar por 2 para encontrar el diámetro; esto también significa que si conocemos el diámetro del círculo, podemos dividir entre 2 para encontrar el radio.

 

 

 

 

 

 

 

La distancia alrededor del círculo se llama circunferencia. (Recuerda, la distancia alrededor de un polígono es el perímetro.)

 

Una propiedad interesante sobre los círculos es que la razón de la circunferencia de un círculo y su diámetro es la misma para todos los círculos. No importa el tamaño del círculo, la razón de la circunferencia y el diámetro será la misma.

 

Algunas medidas de objetos diferentes se muestran abajo. Las medidas son precisas al milímetro. Observa la razón de la circunferencia al diámetro para cada una — a pesar de que los objetos son distintos, la razón para cada uno es aproximadamente la misma.

 

 

La circunferencia y el diámetro son medidas aproximadas, porque no hay manera de medir exactamente las dimensiones. Si pudieras medirlas con más precisión, notarías que la razón  se acercaría a 3.14 para cada uno de los objetos. El nombre matemático de la razón  es pi, y se representa con la letra Griega .

 

 es un decimal que no termina y que no se repite , por lo que es imposible escribirlo todo. Los primeros 10 dígitos de  son 3.141592653; normalmente se redondea a 3.14 o se estima como la fracción . Observa que 3.14 y  son aproximaciones de , y se usan en cálculos donde no es importante ser preciso.

 

Como sabes que la razón de la circunferencia al diámetro (o ) es consistente para todos los círculos, puedes usar este número para encontrar la circunferencia de un círculo si conoces su diámetro.

 

 = , entonces C = d

 

También, como d = 2r, entonces C = d = (2r) = 2r.

 

 

La circunferencia de un círculo   Para encontrar la circunferencia (C) de un círculo, usa una de las siguientes fórmulas:   Si conoces el diámetro (d) de un círculo: Si conoces el radio (r) de un círculo:

 

 

 

 

 

 

Un círculo tiene un radio de 8 pulgadas. ¿Cuál es su circunferencia, redondeada a la pulgada más cercana?   A) 25 pulgadas B) 50 pulgadas C) 64 pulgadas2 D) 201 pulgadas   Mostrar/Ocultar Respuesta A) 25 pulgadas Incorrecto. Multiplicaste el radio por ; la fórmula correcta para la circunferencia cuando tenemos el radio es La respuesta correcta es 50 pulgadas.   B) 50 pulgadas Correcto. Si el radio es de 8 pulgadas, la fórmula correcta para la circunferencia cuando tenemos el radio es La respuesta correcta es 50 pulgadas.   C) 64 pulgadas2 Incorrecto. Elevaste al cuadrado 8 pulgadas para encontrar la respuesta de 64 pulgadas2; esto te dará el área de un cuadrado con lados de 8 pulgadas. Recuerda que la fórmula para la circunferencia cuando tenemos el radio es . La respuesta correcta es 50 pulgadas.   D) 201 pulgadas Incorrecto. Parece que elevaste al cuadrado 8 y luego multiplicaste 53 por  para llegar a esta respuesta. Recuerda que la fórmula para la circunferencia cuando tenemos el radio es . La respuesta correcta es 50 pulgadas.

 

 

 

 es un número importante en la geometría. Ya lo has usado para calcular la circunferencia de un círculo. También usas  cuando quieres encontrar el área de un círculo.

 

El área de un círculo   Para encontrar el área (A) de un círculo, usas la fórmula:

 

 

 

 

Un botón tiene un diámetro de 20 milímetros. ¿Cuál es el área del botón? Usa 3.14 como una aproximación de .   A) 62.8 mm B) 314 mm2 C) 400 mm2 D) 1256 mm2   Mostrar/Ocultar Respuesta A) 62.8 mm Incorrecto. Encontraste la circunferencia del botón: 20 • 3.14 = 62.8. Para encontrar el área, usa la fórmula . La respuesta correcta es 314 mm2.   B) 314 mm2 Correcto. El diámetro es de 20 mm, por lo que el radio debe ser de 10 mm. Luego, usando la fórmula , encuentras  mm2.   C) 400 mm2 Incorrecto. Elevaste al cuadrado 20 para obtener 400 mm2; esto te da el área de un cuadrado con lados que miden 20, no el área de un círculo. Para encontrar el área, usa la fórmula . La respuesta correcta es 314 mm2.   D) 1256 mm2 Incorrecto. Parece que elevaste al cuadrado 20 y luego multiplicaste por . ¡20 es el diámetro, no el radio¡ Para encontrar el área, usa la fórmula . La respuesta correcta es 314 mm2.

 

 

 

Ahora que sabes cómo calcular la circunferencia y el área de un círculo, puedes usar ese conocimiento para encontrar el perímetro y el área de figuras compuestas. El truco para resolver este tipo de problemas consiste en identificar las figuras (y partes de figuras) que forman la figura compuesta, calcular sus dimensiones individualmente, y luego sumaras.

 

Por ejemplo, observa la imagen siguiente. ¿Es posible encontrar el perímetro?

 

El primer paso es identificar figuras simples que formen la figura compuesta. Puedes separarla en un rectángulo y un semicírculo, como se muestra abajo.

 

Sabes cómo encontrar el perímetro de un rectángulo, y sabes cómo encontrar la circunferencia de un círculo. Aquí, el perímetro de los tres lados del rectángulo es 8 + 20 + 20 = 48 pies. (Observa que sólo tres lados del rectángulo se sumarán al perímetro de la figura compuesta porque el otro lado no es realmente un lado; ¡está cubierto por el semicírculo!)

 

Para encontrar la circunferencia del semicírculo, usas la fórmula  con un diámetro de 8 pies, y luego le restas la mitad al resultado. La circunferencia del semicírculo es , o aproximadamente 12.56 pies, por lo que el perímetro mide alrededor de 60.56 pies.

 

 

 

 

 

 

 

¿Cuál es el área (a la centena más cercana) de la figura mostrada abajo? (Ambas regiones son semicírculos.)     A) 16.56 in2 B) 7.14 in2 C) 4 in2 D) 3.14 in2   Mostrar/Ocultar Respuesta A) 16.56 in2 Incorrecto. Parece que calculaste el área de un círculo usando el radio 2; en la figura, el radio de cada círculo es 1. Para encontrar el área de la figura, imagina a los dos semicírculos juntos para crear un círculo. Luego calcula el área del círculo y súmala al área del cuadrado. La respuesta correcta es 7.14 in2.   B) 7.14 in2 Correcto. imagina a los dos semicírculos juntos para crear un círculo. El radio del círculo es de 1 pulgada; esto significa que el área del círculo es . El área del cuadrado es 2 • 2 = 4. YY sumando ambas áreas obtenemos 7.14 in2.   C) 4 in2 Incorrecto. Parece que calculaste el área del cuadrado, pero no la del círculo. Imagina a los dos semicírculos juntos para crear un círculo. Luego calcula el área del círculo y súmala al área del cuadrado. La respuesta correcta es 7.14 in2.   D) 3.14 in2 Incorrecto. Parece que calculaste el área del círculo, pero no del cuadrado. Calcula el área del cuadrado y súmala al área del círculo. La respuesta correcta es 7.14 in2.

 

 

 

Los círculos son figuras geométricas importantes. La distancia alrededor de un círculo se llama circunferencia, y el espacio interior de un círculo se llama área. Calcular la circunferencia y el área de un círculo requiere de un número llamado pi (), que es un número infinito y que no se repita. Pi normalmente se aproxima a los valores 3.14 y . Puedes encontrar el perímetro y el área de figuras compuestas — incluyendo figuras que contienen fracciones de círculos — aplicando apropiadamente las fórmulas de la circunferencia y del área.