Simplificando Fracciones

 

Objetivos de Aprendizaje

·         Encontrar una fracción equivalente dado un denominador.

·         Simplificar una fracción a su mínima expresión.

 

 

Las fracciones representan una parte de la unidad. Las fracciones que representan la misma parte se llaman fracciones equivalentes. La factorización, la multiplicación, y la división son herramientas útiles para trabajar con fracciones equivalentes.

 

 

Usamos fracciones equivalentes todos los días. Cincuenta centavos pueden ser 2 cuartos, y tenemos  de dólar, porque hay 4 cuartos en un dólar. Cincuenta centavos también son 50 pennies, o  de dólar. Estas dos fracciones son la misma cantidad de dinero, pero tienen un numerador y un denominador distintos.

 

Imagina una caja de galletas que contiene 3 paquetes de galletas. Dos de esos paquetes son  de la caja. Suponiendo que cada paquete tiene 30 galletas. Dos paquetes son también 60 (30 • 2) galletas de un total de (30 • 3) galletas. Esto es  de caja. Las fracciones  y  representan dos paquetes de galletas, por lo que son fracciones equivalentes.

 

Las fracciones equivalentes representan la misma parte de la unidad, incluso si el numerador y el denominador son distintos. Por ejemplo, . En estos diagramas, ambas fracciones representan una de cuatro filas en el rectángulo.

 

 

Como  y  están describiendo la misma parte de la unidad, son equivalentes.

Existen muchas maneras de nombrar la misma parte de una unidad usando fracciones equivalentes.

 

Veamos un ejemplo donde necesitas encontrar una fracción equivalente.

 

 

Cuando reagrupas ay consideras las partes de la unidad, estás multiplicando el numerador y el denominador por el mismo número. En el ejemplo anterior, multiplicaste 4 por 5 para obtener el denominador 20 que necesitabas, por lo que también debiste multiplicar 3 por 5, resultando un nuevo numerador 15.

 

 

Encontrando Fracciones Equivalentes   Para encontrar fracciones equivalentes, multiplica o divide ambos el numerador y el denominador por el mismo número.   Ejemplo:

 

 

Escribe una fracción equivalente de  que tenga el denominador 27.   A)   B)   C)   D)   Mostrar/Ocultar Respuesta A) Incorrecto. Probablemente sumaste la diferencia entre los dos denominadores al numerador (27 – 3 = 24, 24 + 2 = 26). En lugar de eso, necesitas usar un factor multiplicativo de 9 (). La respuesta correcta es .   B) Incorrecto. Probablemente sumaste el factor multiplicativo (9) al numerador. Pero debiste multiplicar el numerador por éste factor. La respuesta correcta es .   C) Correcto. El factor multiplicativo es 9, por lo que el denominador es 3 • 9 = 27 y el numerador es 2 • 9 = 18.   D) Incorrecto. Si bien ésta es una fracción equivalente a , en denominador no es 27. La respuesta correcta es .

 

 

Una fracción está reducida a su mínima expresión, o términos mínimos, cuando su numerador y denominador son lo más pequeños posible para representar la misma parte de la unidad. El numerador y el denominador no tienen ningún factor común además del 1.

 

Tenemos 10 cuadrados, 4 de los cuales son verdes. Entonces, la fracción que es verde es . Para simplificar, encuentras un factor común y luego reagrupas los cuadrados usando ése factor.

 

 

Una vez que has determinado un factor común, puedes dividir los cuadrados en grupos dividiendo ambos numerador y denominador para determinar el número de grupos que tienes.

 

Por ejemplo, para simplificar  encuentras el factor común 3, el cual divide 6 y 9. Entonces, divides 6 y 9 en grupos de 3 para determinar cuántos grupos de 3 pueden contener. Esto es , lo que significa 2 de 3 grupos, y  es equivalente a .

 

Podría ser necesario agrupar más de una vez. Cada vez, determina un factor común para el numerador y para el denominador usando las pruebas de divisibilidad cuando sea posible. Si ambos números son pares, empieza por el 2. Por ejemplo:

 

 

 

En el ejemplo anterior, 16 es factor de 32 y de 48, por lo que se pudo haber acortado la solución.

 

 

También puedes usar la factorización prima para ayudarte a reagrupar el numerador y el denominador.

 

 

 

Observa que cuando simplificas una fracción, divides el numerador y el denominador entre el mismo número, de la misma manera que multiplicas por el mismo número para encontrar una fracción equivalente con un denominador más grande. En el ejemplo anterior, pudiste haber dividido el numerador y el denominador entre 9, un factor común de 54 y 72.

 

 

Como el numerador (6) y el denominador (8) siguen teniendo un factor común, la fracción todavía no está reducida a su mínima expresión.

 

 

 

Repite éste proceso de dividir entre un factor común hasta que el único factor común sea 1.

 

 

Simplificando Fracciones a su Mínima Expresión   Para reducir una fracción a su mínima expresión, divide el numerador y el denominador entre sus factores comunes. Repite el proceso hasta que sólo quede el factor común 1.

 

 

Simplifica .   A)   B)   C)   D)   Mostrar/Ocultar Respuesta A) Incorrecto. Si bien  es una fracción equivalente a , no está reducida a su mínima expresión. 3 es un factor común del numerador y el denominador. La respuesta correcta es .   B) Incorrecto. Si bien  es una fracción equivalente a , no está reducida a su mínima expresión. 3 y 9 son factores comunes del numerador y el denominador. La respuesta correcta es .   C) Incorrecto. Probablemente dividiste 72 entre 2 para obtener 38 en lugar de 36.  es una fracción equivalente a , pero no está reducida a su mínima expresión. La respuesta correcta es .   D) Correcto.  está reducida a su mínima expresión, porque 1 es el único factor común de 1 y 2.

 

 

Las fracciones equivalentes no siempre tienen los mismos numerador y denominador, pero tienen el mismo valor. Una fracción ha sido reducida a su mínima expresión cuando el numerador y el denominador de la fracción no comparten factores comunes además del 1. Una fracción escrita en su mínima expresión se llama fracción simplifica.