Representando Patrones

 

Objetivo de Aprendizaje

·         Utilizar tablas y gráficas para identificar y representar patrones.

 

Introducción

 

Las tablas y gráficas matemáticas son una manera útil de representar patrones. Organizan los datos y pueden revelar asociaciones, haciendo más fácil escribir ecuaciones que describan dichos patrones.

 

Explorando Patrones usando Tablas

 

Kim tiene un negocio que renta sillas y mesas para fiestas. En eventos grandes, junta las mesas una con otra formando filas. Cada mesa puede acomodar 2 personas por cada lado. 2 personas adicionales se pueden sentar en cada extremo de las filas.

 

Kim quiere saber cuántas sillas debe sacar del almacén para acomodarlas alrededor de filas de mesas con longitud variable.

 

En las tablas matemáticas estándar se pone el valor independiente en la primera columna y el valor dependiente en la segunda columna. En matemáticas, el valor independiente es la variable que se está manipulando. El valor dependiente es la variable que se ve afectada por los cambios en el valor independiente.

 

Valor

Independiente

Valor

Dependiente

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

En éste caso, el valor independiente es el número de mesas en una fila — que varía según el tamaño del salón. El valor dependiente es el número de sillas, que aumenta o disminuye dependiendo de cuántas mesas se usan. 

 

Empecemos a llenar la tabla. Una fila compuesta de una mesa necesitará 6 sillas — 2 en cada lado, mas las sillas adicionales en los extremos. Si ponemos otra mesa junto a la primera, Kim necesitará 4 sillas por cada lado de la fila, mas 2 adicionales para los extremos, 10 sillas en total. Una tercera mesa añadida a la fila requerirá otras 4 sillas, 2 en cada lado. Siendo en total 14 sillas. Una cuarta mesa significa otras 4 sillas, o 18 en total.

 

Número de Mesas

Número de Sillas

1

6

2

10

3

14

4

18

 

 

Ahora que tenemos la tabla matemática parcialmente llena, veamos si podemos encontrar la relación entre los valores independientes y dependientes.

 

Podemos ver que por cada mesa que Kim añada a la primera, necesita otras 4 sillas. Éste patrón continuará sin importar cuántas mesas adicionales se añadan a la fila.

 

Yendo de Tablas a Ecuaciones

 

El número de sillas necesarias son fáciles de calcular cuando hay pocas mesas. Sin embargo, si Kim quiere calcular el número de sillas necesarias para una fiesta con muchas mesas, éste método tomaría mucho tiempo. Ella necesita un atajo matemático para encontrar el número de sillas necesarias para cualquier número de mesas.

 

Veamos si podemos encontrar una ecuación que haga eso. En álgebra, normalmente llamamos al valor independiente x, y usamos y para el valor dependiente. Entonces usaremos y para el número de sillas y x para el número de mesas.

 

Cada mesa necesita 4 sillas, 2 de cada lado. Podemos escribir esto como . Pero ésa es solo la mitad de la historia. Cada fila de mesas también necesita 2 sillas, una en cada extremo. Por lo que necesitamos sumar 2 sillas extra a la fórmula: .

 

¿Es todo? Comparemos con la tabla que ya tenemos. La tabla dice que 3 mesas necesitan 14 sillas, Si sustituimos 3 por el número de mesas en nuestra ecuación, obtenemos  . La ecuación funciona.

 

Kim puede calcular el número de sillas necesarias para cualquier situación multiplicando el número de mesas por 4 y sumando 2.

 

Basado en los números de esta tabla, ¿Cuál expresión describe el valor de y en términos de x?

 

 

A) y = 2x

B) y =

C) y = x2

D) y = x + 1

 

 

Mostrar/Ocultar la Respuesta

A) y = 2x

Correcto. Cada valor de y es 2 veces el valor asociado de x.

 

B) y =

Incorrecto. Para cada fila en ésta tabla, y es 2 veces el valor de x. La respuesta correcta es 2x.

 

C) y = x2

Incorrecto. Ésta respuesta es válida para la segunda fila pero no para las demás. Para cada fila en ésta tabla, y es 2 veces el valor de x. La respuesta correcta es 2x.

 

D) y = x + 1

Incorrecto. Ésta respuesta es válida para la primer fila pero no para las demás. Para cada fila en ésta tabla, y es 2 veces el valor de x. La respuesta correcta es 2x.

 

 

 

Explorando Patrones usando Gráficas

 

Otra forma de estudiar y predecir patrones es con gráficas. Veamos de nuevo la tabla que hicimos para ayudar a Kim a calcular el número de sillas que necesita.

 

Número de Mesas

Número de Sillas

1

6

2

10

3

14

4

18

 

Los valores in la tabla pueden ser escritos como pares ordenados, los cuales se pueden graficar como puntos en una gráfica. Recuerda, el valor independiente es la coordenada x y el valor dependiente la coordenada y. El orden de pares representados por las mesas y las sillas de Kim son: (1, 6), (2, 10), (3, 14), (4, 18).

 

Estos puntos pueden ser graficados en un eje de coordenadas.

 

 

 

Nota que los 4 puntos caen en una línea recta. Ésta recta puede ser utilizada para encontrar puntos adicionales que son parte del patrón. Por ejemplo, si encontramos el punto sobre la recta donde x, el número de mesas, equivale a 5, podemos ver que y, el número de sillas necesario será 22.

 

Podemos también trabajar de manera inversa. Convertimos la gráfica de un patrón en una tabla que nos ayudará a investigar la relación entre los valores.

 

Aquí se muestra una gráfica diferente con 4 puntos marcados.

 

 

 

Podemos transferir esos puntos a una tabla poniendo los valores de x en la primera columna y los valores de y en la segunda columna. Iremos desde el valor más pequeño de x hasta el más grande. Por lo que empezamos con el punto (1, 1), luego (2, 5), luego (3, 9), y finalmente (4, 13).

 

Valor

Independiente (x)

Valor

Dependiente (y)

1

1

2

5

3

9

4

13

 

Convirtiendo la gráfica en una tabla veremos más fácilmente cómo los cambios en el valor independiente afectan el valor dependiente y podremos encontrar detalles que describen el patrón.

 

 

¿Cuál de las tablas describen los puntos mostrados en la siguiente gráfica?

 

 

A)

 

B)

 

C)

 

 

Mostrar/Ocultar la Respuesta

La respuesta correcta es C. Las coordenadas para los 5 puntos son: A (-3, 0); B (0, 3); C (3, 0); D (6, 3); E (9, 0).

 

 

 

Patrones Continuos y Discretos

 

Muchos patrones pueden ser representados en el eje de coordenadas. Es importante recordar los detalles de la situación, para evitar valores que no tienen sentido.

 

Volvamos a la gráfica que creamos para describir el patrón de las sillas y mesas de Kim.

 

 

 

Trazamos una recta a través de los puntos para ayudarnos a encontrar el número de sillas necesarias para diferentes números de mesas. Pero debemos darnos cuenta que sólo son posibles coordenadas de números enteros. Kim no puede rentar media tabla o un cuarto de silla.

 

Esto es un patrón discreto, donde el patrón cambia en incrementos y no continuamente. No todos los números que resuelven la ecuación que describe el patrón tienen sentido.

 

Algunas situaciones sí representan patrones continuos. En estos casos, todos los puntos de la recta que grafica el patrón son exactos.

 

Por ejemplo, considera la gráfica de un tren viajando a 55 mph por varias horas sin detenerse. El tiempo de viaje en horas es la variable independiente, graficada en el eje x. La distancia recorrida en millas es la variable dependiente, graficada en el eje y.

 

 

 

El punto (0, 0) representa el inicio del viaje, justo antes de que el tren se empiece a mover. El punto (1, 55) muestra la situación después de una hora — el tren ha recorrido 55 millas. En 2 horas, el tren ha recorrido tras 55 millas, o 110 millas en total. Esto puede ser graficado con un punto (2, 110).

 

Una recta que conecta los tres puntos puede ser usada para determinar exactamente qué tan lejos el tren ha viajado en cualquier instante entre 0 y 2 horas. Como las variables independiente (tiempo) y dependiente (distancia) de éste patrón cambian constantemente, esto es un patrón continuo. Todos los puntos en la recta tienen sentido.

 

Sumario

 

Hemos aprendido a representar patrones matemáticamente usando tablas, gráficas y ecuaciones. También hemos visto que estas herramientas nos pueden ayudar a describir y predecir partes de patrones más allá de lo que podemos ver o medir directamente.