Aplicando Ecuaciones Racionales

Aplicando Ecuaciones Racionales

Objetivo de Aprendizaje

· Resolver problemas del mundo real usando funciones racionales.

Introducción

Las expresiones racionales y las ecuaciones racionales pueden ser herramientas útiles para representar situaciones de la vida real y para encontrar respuestas a problemas reales. En particular, son muy buenas para describir ecuaciones de distancia-velocidad-tiempo, y modelar problemas de trabajo multi-persona.

Resolviendo Problemas de Trabajo

Los problemas de trabajo normalmente nos piden calcular cuánto tiempo le tomará a personas distintas trabajar a velocidades diferentes para terminar una tarea. Los modelos algebraicos de tales situaciones comúnmente involucran ecuaciones racionales derivadas de la fórmula del trabajo, W = rt. La cantidad de trabajo realizado (W) es el producto de la tasa de trabajo (r) y el tiempo necesario para terminar el trabajo (t). La fórmula del trabajo tiene 3 versiones:

Algunos problemas de trabajo tienen varias máquinas o personas trabajando en un proyecto juntas durante el mismo lapso de tiempo pero a diferentes tasas. En ese caso, podemos sumar sus tasas trabajo individual para obtener la tasa de trabajo. Veamos un ejemplo:

Ejemplo
Problema	A Myra le toma 2 horas plantar 500 bulbos de flores. A Francis le toma 3 horas plantar 450 bulbos. Trabajando juntos, ¿cuánto tiempo les tomará plantar 1500 bulbos?
	Myra: 500 bulbos/2 horas = 250 bulbos/hora Francis: 450 bulbos/3 horas = 150 bulbos/hora	Piensa sobre cuántos bulbos planta cada persona en una hora. Este es su tasa de plantar
	Myra & Francis juntos: 250 + 150 bulbos/hora = 400 bulbos/hora	Combina sus tasas por hora para determinar la tasa a la que ambos trabajan
		Usa una de las fórmulas de trabajo para escribir una ecuación racional, por ejemplo . Conocemos r, la tasa de trabajo combinado, y conocemos W, la cantidad de trabajo que debe realizarse. Lo que no conocemos es cuánto tiempo les tomará hacer el trabajo requerido a la tasa designada
	t = 3 ¾ horas	Resolver la ecuación multiplicando ambos lados por el común denominador, luego despejar t.
Solución	Les toma 3 horas 45 minutos a Myra y Francis plantar 1500 bulbos entre los dos.

Otros problemas de trabajo van al revés. Vamos a calcular cuánto tiempo le toma a una persona hacer un trabajo sola cuando conocemos cuánto tiempo le toma a un grupo hacer el trabajo:

Ejemplo
Problema	Jamie, Pria y Paul pueden pintar una habitación juntos en 2 horas. Si Pria hace el trabajo sola puede pintar la habitación en 5 horas. Si Paul trabaja solo, puede pintar la habitación en 6 horas. Si Jaime trabaja sola, ¿cuánto tiempo le tomará pintar la habitación?
Pria + Paul + Jamie = habitación/ hora Pria = habitación/hora Paul = habitación/hora Jamie = habitación/hora		Determinar las tasas por hora para cada persona y para todo el grupo usando la fórmula El trabajo es pintar una habitación, entonces W = 1 No sabemos cuánto tiempo le tomará a Jamie por lo que debemos conservar la variable t
		Escribir la ecuación para mostrar que la suma de sus tasas individuales es igual a la tasa del grupo (Piensa de esta forma: Pria trabaja durante una hora y pinta de la habitación. Paul trabaja durante 4 horas y pinta de la habitación. Jamie trabaja por una hora y pinta de la habitación Juntos han pintado la mitad de la habitación en una hora
		Resolver la ecuación racional Primero encontramos el mínimo común denominador de las tasas individuales 5 • 6 • t = 30t. Luego multiplicamos cada término a la izquierda por una forma fraccional de 1 de tal forma que todas las tasas tengan el mismo denominador y puedan ser sumadas. (Nota: podríamos haber encontrado el común denominador de toda la ecuación, el cual también es 30t, y multiplicado ambos lados por él.)
11t + 30 = 11t + 30 =15t 11t - 11t + 30 = 15t – 11t 30 = 4t 7.5 = t		Ahora multiplicar ambos lados de la ecuación por el común denominador, luego simplificar
Solución	Le tomaría a Jamie 7.5 horas pintar la habitación ella sola.

Tanya y Cam pueden cada una lavar un carro y aspirar su interior en 2 horas. Pat necesita 3 horas para hacer el mismo trabajo sola. Si Pat, Cam y Tanya trabajan juntas, ¿cuánto tiempo les tomará limpiar un carro?

A) 40 minutos

B) 45 minutos

C) 1.2 horas

D) 1 hora

Mostrar/Ocultar la Respuesta

Algunas veces los problemas de trabajo describen tasas de una forma relativa: alguien trabaja 3 veces más rápido que alguien más o a una máquina le toma 2 horas menos terminar un trabajo que a otro modelo de máquina. En estos casos, expresamos una tasa usando la información sobre otra tasa. Veamos un ejemplo:

Ejemplo
Problema	Una pipa puede llenar una piscina 1.5 veces más rápido que una segunda pipa. Si ambas pipas están abiertas, la piscina se llena en 6 horas. Si sólo la pipa lenta está abierta, ¿cuánto tiempo le tomará llenar la piscina?
	pipa rápida= pipa lenta = pipa rápida + pipa lenta =	Encontrar las tasas de cada pipa por separado y ambas trabajando juntas trabajo = 1 piscina llena Horas necesarias para que la pipa rápida llene la piscina: p Horas necesarias para que la pipa lenta llene la piscina: 1.5p Horas necesarias para que ambas pipas llenen la piscina: 6
		Escribir la ecuación que muestra que la cantidad de trabajo completado por ambas pipas en una hora es igual a la suma de trabajo de cada pipa
	6 + 4 = p p =10 horas	Resolver p. Una manera de hacerlo es reescribir las expresiones racionales usando un común denominador. Común denominador de p, 1.5p y 6 es 6p.
	10 • 1.5 = 15 horas	A la pipa lenta le toma 1.5p horas hacer el trabajo sola
Solución	A la pipa lenta le toma 15 horas llenar la pipa sola

Sumario

Las ecuaciones racionales pueden ser usadas para resolver una variedad de problemas que involucran tasas, tiempos y trabajo. Usar expresiones y ecuaciones racionales nos puede ayudar a responder preguntas sobre cómo combinar trabajadores o máquinas para completar un trabajo a tiempo.