Resolviendo Ecuaciones Racionales

 

Objetivo de Aprendizaje

·         Resolver ecuaciones racionales usando técnicas de simplificación y manipulación de expresiones racionales.

 

Introducción

 

Las ecuaciones que contienen expresiones racionales se llaman ecuaciones racionales. Podemos resolver estas ecuaciones usando técnicas para realizar operaciones con expresiones racionales y para resolver ecuaciones algebraicas.

 

Resolviendo Ecuaciones Racionales Usando Denominadores Comunes

 

Un método para resolver ecuaciones racionales es reescribir las expresiones racionales en términos de un denominador común. Entonces, como sabemos que los numeradores son iguales, podemos resolver la variable. Para ilustrar esto, veamos una ecuación muy simple:

 

 

x = 3

 

Como el denominador de cada expresión es el mismo, los numeradores deben ser equivalentes también. Esto significa que x = 3.

 

Esto es también válido para ecuaciones racionales con polinomios:

 

 

2x – 5 = 11

 

x = 8

 

Una vez más, como los denominadores son los mismos, sabemos que los numeradores deben ser también iguales. Por lo que podemos igualarlos el uno con el otro y resolver x.

 

Debemos comprobar nuestra solución en la expresión racional original:

 

 

 

 

La solución funciona, y como x = 8 no resulta en una división entre 0, la solución es válida.

 

Cuando los términos en una ecuación racional tienen denominadores distintos, resolver la ecuación necesitará trabajo extra. Aquí hay un ejemplo:

 

Ejemplo

Problema

Resolver la ecuación

 

 

 

 

 

No hay valores excluidos porque ambos denominadores son constantes

 

 

 

Encontrar el común denominador y reescribir cada expresión con ese denominador

 

El común denominador es 8

 

 

x + 2 = 6

 

x = 4

 

Como los denominadores son el mismo, los numeradores deben ser iguales para que la ecuación sea válida, Resolver x.

 

 

 

 

Comprobar la solución sustituyendo x por 4 en la ecuación original

Solución

 

x = 4

 

 

 

Otra forma de resolver ecuaciones racionales consiste en multiplicar ambos lados de la ecuación por un común denominador. Esto elimina los denominadores y convierte la ecuación racional en una ecuación de polinomios. Aquí está el mismo ejemplo que acabamos de resolver:

 

Ejemplo

Problema

Resolver la ecuación

 

 

 

 

 

No hay valores excluidos porque ambos denominadores son constantes

 

 

 

Multiplicar ambos lados por el mínimo común denominador

 

 

 

x + 2 = 6

 

Simplificar

 

 

x + 2 – 2  = 6 – 2

 

x = 4

 

Resolver x

Solución

 

x = 4

 

 

 

Ahora que entendemos las técnicas, veamos un ejemplo que tiene variables en el denominador. Recuerda que cuando hay variables en el denominador, necesitamos encontrar los valores que están excluidos del dominio porque harían el denominador cero.

 

Para resolver la ecuación, podemos multiplicar ambos lados por el mínimo común denominador:

 

Ejemplo

Problema

Resolver

 

 

 

x + 2 = 0

x = -2

 

x – 2 = 0

x = 2

 

(x + 2)(x – 2) = 0

x = -2, 2

 

Primero determinar los valores excluidos. Estos son los valores de x que harían 0 el denominador

 

denominadores:

 

x + 2

x – 2

x2 – 4 = (x – 2)(x + 2)

 

mínimo común denominador:

(x – 2)(x + 2)

 

 

Encontrar el común denominador de x – 2, x + 2, y x2 – 4

 

Como (x – 2) y (x + 2) son factores de x2 – 4, el mínimo común denominador es (x – 2)(x + 2) o x2 – 4

 

 

 

 

Multiplicar ambos lados de la ecuación por el común denominador

 

 

7x – 14 + 5x + 10 =10x – 2

 

12x – 4 =10x – 2

 

 

Simplificar

 

 

12x – 10x – 4 = 10x – 10x – 2

 

2x – 4 = -2

 

2x – 4 + 4 = -2 + 4

 

2x = 2

 

x = 1

 

Resolver x

 

 

 

 

 

 

Asegurarse que la solución no es un valor excluido. (No lo es)

 

 

 

 

 

 

 

Comprobar la solución en la ecuación original

Solución

x = 1

 

 

 

 

Resolver la ecuación , m  0 o 2

 

A)  m = 2

B) no existe solución

C) m = 8

 

Mostrar/Ocultar la Respuesta

A) Incorrecto. Probablemente encontraste el común denominador correcto, pero olvidaste distribuir cuando estabas simplificando. Tampoco te aseguraste que tu solución no era un valor excluido; m ≠ 2 porque vuelve indefinida la expresión derecha. Multiplicar ambos lados por el factor común te da   , entonces . La respuesta correcta es m = 8.

 

B) Incorrecto. , so .  La solución, 8, no es un valor excluido. La respuesta correcta es m = 8.

 

C) Correcto. Multiplicar ambos lados de la ecuación por el común denominador te da , entonces . . La respuesta correcta es m = 8.

 

 

Hemos visto que hay más de una forma de resolver ecuaciones racionales. Porque ambas técnicas manipulan y reescriben los términos, algunas veces pueden producir soluciones que no funcionan en la forma original de la ecuación. Este tipo de respuestas se llaman soluciones extrañas. Estas soluciones son artefactos del proceso de solución y no son respuestas reales. Es por eso que siempre debemos comprobar las soluciones con las ecuaciones originales — podríamos encontrar que se obtienen declaraciones inválidas o producen expresiones indefinidas.

 

Resolver la ecuación:

 

A) x = -1

B) x = -1, 6

C) x = -4, 3

D) no existe solución

 

Mostrar/Ocultar la Respuesta

A) Correcto. ; ; x – 2 + x2 – 6x = 4; (x – 6 )(x + 1) = 0. Como 6 es un valor excluido, el resultado es una solución extraña. Sólo -1 es una solución real. 

 

B) Incorrecto. 6 es un valor excluido porque provoca que el denominador de la primera expresión racional sea igual a 0. Como 6 es una solución extraña, no se puede incluir en la solución. La respuesta correcta es -1.

 

C) Incorrecto. El común denominador es (x – 6 )(x -2). Cada término en el lado izquierdo debe ser multiplicado por una fracción equivalente a 1 que produzca ese denominador:= . La respuesta correcta es -1.

 

D) Incorrecto. Cuando la ecuación es resuelta encontrando el común denominador, las respuestas son -1 y 6. Es verdad que 6 es un valor excluido y entonces una solución extraña que debe descartarse. Pero -1 funciona en la ecuación original y es una solución válida. La respuesta correcta es -1.

 

Sumario

 

Resolvemos ecuaciones racionales encontrando un común denominador. Podemos entonces seguir cualquiera de dos métodos. Podemos reescribir la ecuación de tal manera que todos los términos tengan el común denominador y podemos resolver la variable con sólo los numeradores. O podemos multiplicar ambos lados de la ecuación por el denominador común para que todos los términos se vuelvan polinomios en lugar de expresiones racionales.

 

Un paso importante cuando resolvemos ecuaciones racionales es rechazar cualquier solución extraña de la respuesta final. Las soluciones extrañas son soluciones que no satisfacen la forma original de la ecuación porque producen declaraciones inválidas o son valores excluidos que hacen que el denominador sea igual a 0.