Multiplicando y Dividiendo Expresiones Racionales

 

Objetivo de Aprendizaje

·         Multiplicar, dividir y simplificar expresiones racionales.

 

Introducción

 

Así como podemos multiplicar y dividir fracciones, también podemos multiplicar y dividir expresiones racionales, o fracciones que incluyen polinomios. De hecho, usamos los mismos procesos para multiplicar y dividir expresiones racionales que usamos para multiplicar y dividir fracciones numéricas.

 

Multiplicación de Expresiones Racionales

 

Existen dos maneras de multiplicar fracciones:

 

Podemos multiplicar los numeradores y los denominadores y después simplificar el producto:

 

 =

 

O podemos factorizar y simplificar las fracciones antes de realizar la multiplicación:

 

 =  =  =  =

 

Los mismos dos métodos pueden ser aplicados a las expresiones racionales. En los siguientes ejemplos, intentaremos las dos técnicas: multiplicar, luego simplificar; y simplificar; luego multiplicar. Una diferencia importante entre las fracciones y las expresiones racionales es que debemos identificar cualquier valor para las variables que resultarían en una división entre cero, ya que esta no está definida. Estos valores excluidos deben ser eliminados del dominio, el conjunto de todos los posibles valores de la variable.

 

Primero, multiplicaremos y luego simplificaremos:

 

Ejemplo

Problema

Resolver

 

 

 

 

10a3 = 0

 

a = 0

 

El domino son todos los valores de a 0

 

Determinar si existen valores excluidos, valores de a que resultan en un denominador igual a 0 — 14 no puede ser igual a 0, pero 10a3

 

 

Multiplicar los numeradores, y multiplicar los denominadores

 

 

Simplificar encontrando factores comunes en el numerador y denominador

 

 

 

Use los factores comunes para reescribir como una multiplicación por 1

 

 

Simplificar

Solución

a 0

 

 

 

 

Muy bien, funcionó. Pero esta vez vamos a simplificar primero y luego a multiplicar. Cuando usamos este método, es útil buscar el máximo factor común. Podemos factorizar cualquier factor común, pero encontrar el máximo tomará menos pasos.

 

Ejemplo

Problema

Resolver

 

 

 

 

10a3 = 0

 

a = 0

 

El domino son todos los valores de a 0

 

Determinar si hay valores excluidos, valores de a que resultan en un denominador igual a 0 — 14 no puede ser igual a 0, pero 10a3

 

 

Factorizar los numeradores y los denominadores. Buscar el máximo factor común

 

 

  

 

Reagrupar las fracciones para expresar los factores comunes como una multiplicación por 1

 

 

 

 

 

Multiplicar

Solución

 , a 0

 

0 es un valor excluido porque este valor de a vuelve el denominador igual a 0

 

Ambos métodos producen la misma respuesta.

 

Algunas expresiones racionales contienen expresiones cuadráticas y otros polinomios de muchos términos. Para multiplicar estas expresiones racionales, factorizamos los polinomios y luego buscamos factores comunes. Lo haremos paso a paso, igual que en el ejemplo siguiente.

 

Ejemplo

Problema

Multiplicar

 

 

 

(2a – 5) (a + 2) = 0

a = 2.5, -2

 

a2 + 2a = 0

a(a + 2) = 0

a = -2, 0

 

El domino son todos los valores de a -2, 0, o 2.5

 

Determinar si hay valores excluidos. Para hacer esto, igualar todos los denominadores a 0 y resolver a

 

 

Factorizar los numeradores y los denominadores

 

 

Reagrupar para expresar las expresiones racionales equivalentes a 1

 

 

 

Multiplicar las expresiones racionales simplificadas

 

Esta expresión puede dejarse con el denominador en forma factorizada o multiplicada

Solución

, a -2, 0, o 2.5

 

 

 

Nota que en la respuesta anterior no podemos simplificar más la expresión racional. Sería tentador expresar el 5s en el numerador y el dominador como la fracción, , pero estos 5s son términos forman parte de un factor, no son factores ellos mismos. No pueden ser sacados de sus expresiones.

 

Realizar la operación indicada y expresar la respuesta como una expresión racional simplificada:

 

, y ≠ 0, 2, -8, -2

 

A)  

B)

C)

D)  

 

Mostrar/Ocultar la Respuesta

A) Incorrecto. Debes simplificar factorizando los términos semejantes en el numerador y en el denominador. Sólo puedes hacer fracciones equivalentes a 1 usando factores, no términos. La respuesta correcta es .

 

B) Incorrecto. La expresión es equivalente, pero podría ser simplificada aun más ya que existe un factor común de y en el numerador y en el denominador. La respuesta correcta es .

 

C) Incorrecto. Esta expresión es equivalente, pero podría ser simplificada aun más ya que existen factores comunes en el numerador y en el denominador. . La respuesta correcta es .

 

D) Correcto. Factorizando los numeradores y denominadores, obtienes . Reagrupando, obtienes =

 

 

 

 

Dividiendo Expresiones Racionales

 

Hemos visto que multiplicamos expresiones racionales como multiplicar fracciones. No debería sorprendernos que también dividimos expresiones racionales de la misma manda que dividimos fracciones numéricas. Específicamente, para dividir expresiones racionales, multiplicamos el numerador de la expresión racional por el recíproco del denominador de la expresión racional.

 

Empecemos con un recordatorio de la división de facciones numéricas:

 

=  =

 

Para dividir expresiones racionales, el proceso es el mismo. Pero recuerda, necesitamos encontrar los valores excluidos, los valores de variable que harían el denominador igual a cero. Pero hay un pequeño giro en esta ocasión — como dividimos multiplicando por el recíproco de una de las expresiones racionales, también necesitamos encontrar los valores que harían el numerador de la expresión igual a cero. Fíjate:

 

Ejemplo

Problema

Dividir

 

 

 

 

15x3 = 0

 

x = 0 es un valor excluido

 

Encontrar los valores excluidos. 9 y 27 nunca serán igual a 0

 

Como 15x3 se convierte en el denominador del recíproco  , debemos encontrar los valores de x que harían el término igual a 0

 

 

Reescribir la división como una multiplicación por el recíproco

 

 

Factorizar los numeradores y denominadores

 

 

 

Reordenar los factores y expresar la multiplicación por 1

 

 

Simplificar

Solución

 , x 0

 

 

 

 

Ejemplo

Problema

Dividir

 

 

 

(x +2) = 0

x = -2

 

x = -3 o -2

 

6x4 = 0

x = 0

 

0, -2 y -3 son valores excluidos

Determinar los valores excluidos que hacen los denominadores & el denominador del divisor igual a 0

 

Reescribir la división como una multiplicación por el recíproco

 

Factorizar los numeradores y denominadores

 

Reordenar los factores y expresar la multiplicación por 1

 

Simplificar

Solución

 , x0, -2, o -3

 

 

 

Nota que una vez que reescribimos la división como una multiplicación por el recíproco, seguimos el mismo proceso que usamos para la multiplicación de expresiones racionales. No debemos olvidar mencionar los valores excluidos — todos los valores de una variable que resulten en un denominador 0 en cualquier paso del proceso deben ser sacados del dominio.

 

Encontrar el cociente y expresarlo como una expresión racional simplificada:

 

, y ≠ -2 o -1

 

A)  

 

B)

 

C)

 

D)

 

Mostrar/Ocultar la Respuesta

A) Incorrecto. Esta operación es una división, no una multiplicación. El primer paso en la división es reescribirla como una multiplicación por el recíproco. La respuesta correcta es .

 

B) Correcto.  = .

 

C) Incorrecto. Sólo puedes expresar factores comunes, no términos, como fracciones equivalentes a 1. La simplificación aquí es incorrecta. La respuesta correcta es .

 D) Incorrecto. Esto es un problema de división. El primer paso es reescribirla como una multiplicación por el recíproco. Sólo puedes expresar factores comunes, no términos, como fracciones equivalentes a 1. La simplificación aquí es incorrecta. La respuesta correcta es .

 

Sumario

 

Las expresiones racionales se multiplican y dividen de la misma manera que las fracciones numéricas. Para multiplicar, primero encontramos el máximo factor común del numerador y del denominador. Luego, reagrupamos los factores para hacer fracciones iguales a 1. Entonces multiplicamos cualquier factor sobrante. Para dividir, primero reescribimos la división en forma de multiplicación por el recíproco del denominador. Los pasos siguientes son los mismos que con la multiplicación.

 

Cuando expresamos un producto o cociente, es importante señalar los valores excluidos. Estos son todos los valores de una variable que harían el denominador igual a cero en cualquier paso de los cálculos.