Multiplicando y Dividiendo Expresiones Racionales
Objetivo de Aprendizaje
· Multiplicar, dividir y simplificar expresiones racionales.
Introducción
Así como podemos multiplicar y dividir fracciones, también podemos multiplicar y dividir expresiones racionales, o fracciones que incluyen polinomios. De hecho, usamos los mismos procesos para multiplicar y dividir expresiones racionales que usamos para multiplicar y dividir fracciones numéricas.
Existen dos maneras de multiplicar fracciones:
Podemos multiplicar los numeradores y los denominadores y después simplificar el producto:
=
O podemos factorizar y simplificar las fracciones antes de realizar la multiplicación:
= = = =
Los mismos dos métodos pueden ser aplicados a las expresiones racionales. En los siguientes ejemplos, intentaremos las dos técnicas: multiplicar, luego simplificar; y simplificar; luego multiplicar. Una diferencia importante entre las fracciones y las expresiones racionales es que debemos identificar cualquier valor para las variables que resultarían en una división entre cero, ya que esta no está definida. Estos valores excluidos deben ser eliminados del dominio, el conjunto de todos los posibles valores de la variable.
Primero, multiplicaremos y luego simplificaremos:
Ejemplo | ||||
Problema | Resolver |
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10a3 = 0
a = 0
El domino son todos los valores de a 0 |
| Determinar si existen valores excluidos, valores de a que resultan en un denominador igual a 0 — 14 no puede ser igual a 0, pero 10a3 sí | |
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| Multiplicar los numeradores, y multiplicar los denominadores | |
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| Simplificar encontrando factores comunes en el numerador y denominador | |
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| Use los factores comunes para reescribir como una multiplicación por 1 | |
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| Simplificar | |
Solución | , a 0 |
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Muy bien, funcionó. Pero esta vez vamos a simplificar primero y luego a multiplicar. Cuando usamos este método, es útil buscar el máximo factor común. Podemos factorizar cualquier factor común, pero encontrar el máximo tomará menos pasos.
Ejemplo | |||||
Problema | Resolver |
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10a3 = 0
a = 0
El domino son todos los valores de a 0 |
| Determinar si hay valores excluidos, valores de a que resultan en un denominador igual a 0 — 14 no puede ser igual a 0, pero 10a3 sí | ||
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| Factorizar los numeradores y los denominadores. Buscar el máximo factor común | ||
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| Reagrupar las fracciones para expresar los factores comunes como una multiplicación por 1
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| Multiplicar | ||
Solución | , a 0 |
| 0 es un valor excluido porque este valor de a vuelve el denominador igual a 0 | ||
Ambos métodos producen la misma respuesta.
Algunas expresiones racionales contienen expresiones cuadráticas y otros polinomios de muchos términos. Para multiplicar estas expresiones racionales, factorizamos los polinomios y luego buscamos factores comunes. Lo haremos paso a paso, igual que en el ejemplo siguiente.
Ejemplo | |||||
Problema | Multiplicar |
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(2a – 5) (a + 2) = 0 a = 2.5, -2
a2 + 2a = 0 a(a + 2) = 0 a = -2, 0
El domino son todos los valores de a -2, 0, o 2.5 |
| Determinar si hay valores excluidos. Para hacer esto, igualar todos los denominadores a 0 y resolver a | ||
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| Factorizar los numeradores y los denominadores | ||
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| Reagrupar para expresar las expresiones racionales equivalentes a 1 | ||
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| Multiplicar las expresiones racionales simplificadas
Esta expresión puede dejarse con el denominador en forma factorizada o multiplicada | ||
Solución | , a -2, 0, o 2.5 |
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Nota que en la respuesta anterior no podemos simplificar más la expresión racional. Sería tentador expresar el 5s en el numerador y el dominador como la fracción, , pero estos 5s son términos forman parte de un factor, no son factores ellos mismos. No pueden ser sacados de sus expresiones.
Realizar la operación indicada y expresar la respuesta como una expresión racional simplificada:
, y ≠ 0, 2, -8, -2
A) B) C) D)
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Dividiendo Expresiones Racionales
Hemos visto que multiplicamos expresiones racionales como multiplicar fracciones. No debería sorprendernos que también dividimos expresiones racionales de la misma manda que dividimos fracciones numéricas. Específicamente, para dividir expresiones racionales, multiplicamos el numerador de la expresión racional por el recíproco del denominador de la expresión racional.
Empecemos con un recordatorio de la división de facciones numéricas:
= =
Para dividir expresiones racionales, el proceso es el mismo. Pero recuerda, necesitamos encontrar los valores excluidos, los valores de variable que harían el denominador igual a cero. Pero hay un pequeño giro en esta ocasión — como dividimos multiplicando por el recíproco de una de las expresiones racionales, también necesitamos encontrar los valores que harían el numerador de la expresión igual a cero. Fíjate:
Ejemplo | |||||
Problema | Dividir |
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15x3 = 0
x = 0 es un valor excluido |
| Encontrar los valores excluidos. 9 y 27 nunca serán igual a 0
Como 15x3 se convierte en el denominador del recíproco , debemos encontrar los valores de x que harían el término igual a 0 | ||
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| Reescribir la división como una multiplicación por el recíproco | ||
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| Factorizar los numeradores y denominadores | ||
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| Reordenar los factores y expresar la multiplicación por 1
Simplificar | ||
Solución | , x 0 |
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Ejemplo | ||||
Problema | Dividir |
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| (x +2) = 0 x = -2
x = -3 o -2
6x4 = 0 x = 0
0, -2 y -3 son valores excluidos | Determinar los valores excluidos que hacen los denominadores & el denominador del divisor igual a 0 | ||
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| Reescribir la división como una multiplicación por el recíproco | ||
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| Factorizar los numeradores y denominadores | ||
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| Reordenar los factores y expresar la multiplicación por 1
Simplificar | ||
Solución | , x0, -2, o -3 |
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Nota que una vez que reescribimos la división como una multiplicación por el recíproco, seguimos el mismo proceso que usamos para la multiplicación de expresiones racionales. No debemos olvidar mencionar los valores excluidos — todos los valores de una variable que resulten en un denominador 0 en cualquier paso del proceso deben ser sacados del dominio.
Encontrar el cociente y expresarlo como una expresión racional simplificada:
, y ≠ -2 o -1
A)
B)
C)
D)
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Sumario
Las expresiones racionales se multiplican y dividen de la misma manera que las fracciones numéricas. Para multiplicar, primero encontramos el máximo factor común del numerador y del denominador. Luego, reagrupamos los factores para hacer fracciones iguales a 1. Entonces multiplicamos cualquier factor sobrante. Para dividir, primero reescribimos la división en forma de multiplicación por el recíproco del denominador. Los pasos siguientes son los mismos que con la multiplicación.
Cuando expresamos un producto o cociente, es importante señalar los valores excluidos. Estos son todos los valores de una variable que harían el denominador igual a cero en cualquier paso de los cálculos.