Simplificando Expresiones Racionales

 

Objetivo de Aprendizaje

·         Simplificar fracciones con polinomios en el numerador y en el denominador usando factorización

 

Introducción

 

Las expresiones racionales son fracciones que tienen un polinomio en el numerador o en el denominador o en ambos. Aunque las expresiones racionales pueden parecer complicadas porque contienen variables, pueden ser simplificadas de la misma forma que las fracciones numéricas.

 

Encontrando el Dominio de una Expresión

 

El primer paso para simplificar una expresión racional es determinar el dominio, para establecer todos los posibles valores y variables. El denominador en una fracción no puede ser cero porque la división entre cero no está definida. Entonces necesitamos encontrar qué valores de las variables en la expresión harían el denominador igual a cero. Estos valores no pueden estar incluidos en el dominio, por lo que son llamados valores excluidos. Los descartamos desde el inicio, antes de continuar.

 

Para las expresiones racionales, el dominio excluirá los valores para los que el valor del denominador es 0. Dos ejemplos que ilustran la búsqueda del dominio de la expresión se muestran a continuación.

 

Ejemplo

Problema

Identificar el dominio de la expresión

 

 

 x – 4 = 0

 

 

Encontrar un valor de x que haría el denominador = 0

 

 

x = 4

 

Cuando x = 4, el denominador es igual a 0

Solución

 

El domino son todos los valores de x que no son igual a 4

 

 

No fue difícil, Intentemos con uno un poco más complicado:

 

Ejemplo

Problema

Identificar el dominio de la expresión

 

 

= 0

 

 

Encontrar un valor de x que haría el denominador = 0. Igualar el denominador a 0 y resolver la ecuación

 

 

 (x + 9)(x – 1) = 0

 

x = -9 o x = 1

 

Resolver la ecuación factorizando. Las soluciones son los valores que se excluyen del dominio

Solución

 

El dominio son todos los valores de x distintos de -9 o 1

 

 

 

 

Encontrar el dominio de la expresión racional .

A) todos los valores de x

B) todos los valores de x distintos de 2 o 8

C) todos los valores de x distintos de 0

D) todos los valores de x distintos de -2, 2

 

Mostrar/Ocultar la Respuesta

A. Correcto. No existen valores de x para los cuales el denominador es igual a 0. Entonces no hay valores excluidos del dominio.

 

B. Incorrecto. 2 y 8 no vuelven el denominador 0, por lo que no hay valores excluidos. Debes igualar el denominador a 0 y resolver x. Esto resulta en los valores excluidos, pero en este caso, no existen. La respuesta correcta es todos los valores de x.

 

C. Incorrecto. Si sustituyes x por 0 en la expresión, el denominador es igual a 8. Sólo valores que resulten en un denominador igual a 0 son excluidos. Valores que resulten en un numerador igual a 0 no son excluidos. La respuesta correcta es todos los valores de x.

 

D. Incorrecto. Cuando el denominador es evaluado con x = -2 y x = 2, el denominador no es igual a 0. Entonces, estos valores no son excluidos. La respuesta correcta es todos los valores de x.

 

 

Simplificando Expresiones Racionales

 

Una vez que has encontrado los valores excluidos, el siguiente paso es simplificar. Para simplificar una expresión racional, debemos seguir el mismo método que usaríamos para simplificar fracciones numéricas: encontrar factores comunes en el numerador y en el denominador. Empecemos con una fracción numérica para entender este método:

 

Ejemplo

Problema

Simplificar

 

 

 

 

Factorizar el numerador y el denominador

 

 

Sacar los factores de 1

 

 

 

Simplificar

Solución

 

 

 

 

Bueno, habríamos podido hacer este problema mentalmente. Pero valía la pena escribirlo, porque así es exactamente como simplificamos una expresión racional.

 

Entonces vamos a simplificar una expresión racional, usando la misma técnica que acabamos de aplicar para la fracción. Sólo que esta vez el numerador y el denominador son monomios con variables:

 

Ejemplo

Problema

Simplificar  y encontrar el dominio de la expresión

 

25xy = 0

 

x = 0 o y = 0

 

El dominio son todos los valores de x distintos de 0 y todos los de y distintos de 0

 

Encontrar los valores excluidos, los valores de x y y que hacen el denominador igual a 0

 

 

Factorizar el numerador y el denominador

 

 

 

 

Reescribir con factores de 1

 

 

Simplificar

Solución

 

El dominio son todos los valores de x distintos de 0 y todos los de y distintos de 0

 

 

 

 

Observa — los mismos pasos funcionaron de nuevo. En los ejemplos que siguen, el numerador y el denominador son polinomios con más de un término, pero aplican los mismos principios de simplificación. Factorizar el numerador y el denominador para simplificar la expresión racional.

 

Ejemplo

Problema

Simplificar y encontrar el dominio de la expresión

 

 

x2 + 12x + 27 = 0

 

(x + 3)(x + 9) = 0

 

x = -3  o x = -9

 

Determinar los valores para los que el denominador es igual a 0. Factorizar la cuadrática para encontrar los valores

 

 

 

 

Factorizar el numerador y el denominador

 

 

Reescribir con factores de 1, y luego simplificar

Solución

 

El dominio son todos los valores de x excluyendo el -9 y el -3

 

 

 

 

Ejemplo

Problema

Simplificar y encontrar el dominio de la expresión

 

 

x3 – x220x  = 0

 

x(x2 – x – 20) = 0

 

x(x – 5)(x + 4) = 0

 

x = 0 o x = 5 o x = -4

 

Determinar los valores para los que el denominador es 0

 

 

 

 

 

 

 

Factorizar el numerador y el denominador de la expresión racional

 

 

 

 

Reescribir con factores de 1, luego simplificar

 

 

 o

 

Simplificar. Es aceptable dejar el denominador en su forma factorizada o distribuir la multiplicación

Solución

 o

 

El dominio son todos los valores de x excluyendo -4, 0, 5

 

 

No importa cuántos términos o variables hay en la expresión racional, podemos simplificarla si seguimos los siguientes pasos:

 

Pasos para Simplificar una Expresión Racional:

 

Determinar el dominio. Los valores excluidos son aquellos que resultan en un denominador igual a 0.

 

Encontrar factores comunes en el numerador y el denominador para simplificar

 

 

 

Simplificar la siguiente expresión racional y encuentra el dominio.

 

 

A)  ; el dominio son todos los valores de x

 

B)  ; el dominio son todos los valores de x excepto –10 o

 

C)  ; el dominio son todos los valores de x

 

D) ; el dominio son todos los valores de x excepto –10 o

 

Mostrar/Ocultar la Respuesta

A) Incorrecto. Debes primero factorizar los polinomios en el numerador y el denominador y luego expresar los factores similares en el numerador y el denominador como 1 y simplificar. Sólo lo puedes hacerlo con factores, no términos en un polinomio. El dominio son todos los valores de x excepto –10 o  porque estos dos valores resultan en un denominador igual a 0. La respuesta correcta es  ; el dominio son todos los valores de x excepto –10 o .

 

B) Correcto. La expresión racional puede ser simplificada al factorizar el numerador como (2x + 3)(x + 5) y el denominador como (2x + 3)(x + 10) y luego como  = 1, puedes simplificar las expresiones a . Los valores x= –10 y x = resultan en un denominador igual a 0, entonces el domino son todos los valores de x excepto –10 o, .

 

C) Incorrecto. La expresión racional ha sido simplificada correctamente, pero el dominio no es todos los valores de x. Los valores x= –10 y x = resultan en un denominador igual a 0. La respuesta correcta es  ; el dominio son todos los valores de x excepto –10 o .

 

D. Incorrecto. no puede ser simplificado a . La respuesta correcta es ; el dominio son todos los valores de x excepto –10 o .

 

Sumario

 

Las expresiones racionales, o fracciones que contienen polinomios, pueden ser simplificadas de manera similar que las fracciones. Para simplificar una expresión racional, primero determina los factores comunes del numerador y del denominador, para luego eliminarlos reescribiéndolos como expresiones iguales a 1.

 

Una consideración adicional para las expresiones racionales es determinar qué valores son excluidos del dominio. Como la división entre 0 no está definida, cualquier valor de las variables que resulte en un denominador igual a 0 debe ser excluido. Los valores excluidos deben ser identificados en la ecuación original, y no en su forma factorizada.