Simplificando Expresiones Racionales
Objetivo de Aprendizaje
· Simplificar fracciones con polinomios en el numerador y en el denominador usando factorización
Introducción
Las expresiones racionales son fracciones que tienen un polinomio en el numerador o en el denominador o en ambos. Aunque las expresiones racionales pueden parecer complicadas porque contienen variables, pueden ser simplificadas de la misma forma que las fracciones numéricas.
Encontrando el Dominio de una Expresión
El primer paso para simplificar una expresión racional es determinar el dominio, para establecer todos los posibles valores y variables. El denominador en una fracción no puede ser cero porque la división entre cero no está definida. Entonces necesitamos encontrar qué valores de las variables en la expresión harían el denominador igual a cero. Estos valores no pueden estar incluidos en el dominio, por lo que son llamados valores excluidos. Los descartamos desde el inicio, antes de continuar.
Para las expresiones racionales, el dominio excluirá los valores para los que el valor del denominador es 0. Dos ejemplos que ilustran la búsqueda del dominio de la expresión se muestran a continuación.
Ejemplo | |||
Problema | Identificar el dominio de la expresión | ||
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x – 4 = 0
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| Encontrar un valor de x que haría el denominador = 0 |
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x = 4 |
| Cuando x = 4, el denominador es igual a 0 |
Solución |
El domino son todos los valores de x que no son igual a 4 |
No fue difícil, Intentemos con uno un poco más complicado:
Ejemplo | ||||||
Problema | Identificar el dominio de la expresión | |||||
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= 0
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| Encontrar un valor de x que haría el denominador = 0. Igualar el denominador a 0 y resolver la ecuación | |||
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(x + 9)(x – 1) = 0
x = -9 o x = 1 |
| Resolver la ecuación factorizando. Las soluciones son los valores que se excluyen del dominio | |||
Solución |
El dominio son todos los valores de x distintos de -9 o 1 |
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| |||
Encontrar el dominio de la expresión racional . A) todos los valores de x B) todos los valores de x distintos de 2 o 8 C) todos los valores de x distintos de 0 D) todos los valores de x distintos de -2, 2
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Una vez que has encontrado los valores excluidos, el siguiente paso es simplificar. Para simplificar una expresión racional, debemos seguir el mismo método que usaríamos para simplificar fracciones numéricas: encontrar factores comunes en el numerador y en el denominador. Empecemos con una fracción numérica para entender este método:
Ejemplo | |||
Problema | Simplificar |
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| Factorizar el numerador y el denominador |
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| Sacar los factores de 1 |
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Simplificar |
Solución |
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Bueno, habríamos podido hacer este problema mentalmente. Pero valía la pena escribirlo, porque así es exactamente como simplificamos una expresión racional.
Entonces vamos a simplificar una expresión racional, usando la misma técnica que acabamos de aplicar para la fracción. Sólo que esta vez el numerador y el denominador son monomios con variables:
Ejemplo | |||
Problema | Simplificar y encontrar el dominio de la expresión | ||
| 25xy = 0
x = 0 o y = 0
El dominio son todos los valores de x distintos de 0 y todos los de y distintos de 0 |
| Encontrar los valores excluidos, los valores de x y y que hacen el denominador igual a 0 |
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| Factorizar el numerador y el denominador |
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| Reescribir con factores de 1 |
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| Simplificar |
Solución |
El dominio son todos los valores de x distintos de 0 y todos los de y distintos de 0 |
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Observa — los mismos pasos funcionaron de nuevo. En los ejemplos que siguen, el numerador y el denominador son polinomios con más de un término, pero aplican los mismos principios de simplificación. Factorizar el numerador y el denominador para simplificar la expresión racional.
Ejemplo | |||||
Problema | Simplificar y encontrar el dominio de la expresión
| ||||
| x2 + 12x + 27 = 0
(x + 3)(x + 9) = 0
x = -3 o x = -9 |
| Determinar los valores para los que el denominador es igual a 0. Factorizar la cuadrática para encontrar los valores | ||
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| Factorizar el numerador y el denominador
Reescribir con factores de 1, y luego simplificar | ||
Solución |
El dominio son todos los valores de x excluyendo el -9 y el -3 |
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| ||
Ejemplo | |||
Problema | Simplificar y encontrar el dominio de la expresión
| ||
| x3 – x2 – 20x = 0
x(x2 – x – 20) = 0
x(x – 5)(x + 4) = 0
x = 0 o x = 5 o x = -4 |
| Determinar los valores para los que el denominador es 0 |
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Factorizar el numerador y el denominador de la expresión racional
Reescribir con factores de 1, luego simplificar |
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o |
| Simplificar. Es aceptable dejar el denominador en su forma factorizada o distribuir la multiplicación |
Solución | o |
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El dominio son todos los valores de x excluyendo -4, 0, 5 |
No importa cuántos términos o variables hay en la expresión racional, podemos simplificarla si seguimos los siguientes pasos:
Pasos para Simplificar una Expresión Racional:
Determinar el dominio. Los valores excluidos son aquellos que resultan en un denominador igual a 0.
Encontrar factores comunes en el numerador y el denominador para simplificar
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Simplificar la siguiente expresión racional y encuentra el dominio.
A) ; el dominio son todos los valores de x
B) ; el dominio son todos los valores de x excepto –10 o
C) ; el dominio son todos los valores de x
D) ; el dominio son todos los valores de x excepto –10 o
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Sumario
Las expresiones racionales, o fracciones que contienen polinomios, pueden ser simplificadas de manera similar que las fracciones. Para simplificar una expresión racional, primero determina los factores comunes del numerador y del denominador, para luego eliminarlos reescribiéndolos como expresiones iguales a 1.
Una consideración adicional para las expresiones racionales es determinar qué valores son excluidos del dominio. Como la división entre 0 no está definida, cualquier valor de las variables que resulte en un denominador igual a 0 debe ser excluido. Los valores excluidos deben ser identificados en la ecuación original, y no en su forma factorizada.