Solución de Ecuaciones Cuadráticas por Factorización

 

Objetivo de Aprendizaje

·         Resolver ecuaciones cuadráticas usando técnicas de factorización y expresar la solución como un conjunto.

 

Introducción

 

Cuando un polinomio es igual a cierto valor (ya sea un entero u otro polinomio), el resultado es una ecuación. Una ecuación que puede ser escrita de la forma ax2 + bx + c = 0 se llama ecuación cuadrática. Podemos resolver estas ecuaciones cuadráticas usando las reglas del álgebra, aplicando técnicas de factorización donde sea necesario, y usando la Propiedad Cero de la Multiplicación.

 

La Propiedad Cero de la Multiplicación

 

La Propiedad Cero de la Multiplicación establece (¡en términos algebraicos, por supuesto!) algo que todos siempre hemos sabido: si el producto de dos números es 0, entonces por lo menos uno de los factores es 0.

 

Propiedad Cero de la Multiplicación

 

Si ab = 0, entonces ya sea a = 0 o b = 0, o ambos a y b son 0.

 

 

Esta propiedad puede parecer obvia, pero tiene importante implicaciones en cómo resolvemos ecuaciones cuadráticas: significa que si tenemos un polinomio factorizado igual a 0, podemos estar seguros de que al menos uno de sus factores es también 0. Podemos usar este método para identificar soluciones de una ecuación.

 

Pero nos estamos adelantando — empecemos con un ejemplo de una ecuación cuadrática y pensemos en cómo resolverla. La ecuación 5a2 + 15a = 0 es una ecuación cuadrática porque puede escribirse como 5a2 + 15a + 0 = 0, que es equivalente a la forma ax2 + bx + c = 0, con c = 0.

 

Ejemplo

Problema

 

Resolver a en 5a2 + 15a = 0

 

 

 

5a2 + 15a = 0

 

El problema nos pide resolver a; empecemos por factorizar el lado izquierdo de la ecuación

 

5(a2 + 3a) = 0

 

5 es factor común de 5a2 y 15a.

 

5a(a + 3) = 0

 

a es factor común un de a2 y 3a.

 

 

 

En este punto hemos factorizado completamente el lado izquierdo de la ecuación. Si sólo quisiéramos factorizar la expresión, podríamos parar aquí, pero recuerda que estamos resolviendo a de la ecuación.

 

Aquí es donde usamos la Propiedad Cero de la Multiplicación. Ya que toda la expresión es igual a cero, sabemos que por lo menos uno de los términos, 5a o (a + 3), tiene que ser igual a cero. Vamos a continuar con la solución de este problema igualando cada término a cero y resolviendo las ecuaciones.

 

 

5a = 0                     a + 3 = 0

 

Igualar cada factor a cero

 

         a + 3 – 3 = 0 – 3

 

a = 0                          a = -3     

 

 

Resolver la ecuación

Solución

a = 0 o a = -3     

 

 

 

Resultan dos valores posibles de a: 0 y -3. (Estos valores también se llaman raíces de la ecuación.) Para comprobar nuestras respuestas, podemos sustituir ambos valores directamente en nuestra ecuación original y ver si obtenemos una expresión válida para cada una.

 

Comprobando a = 0

Comprobando a = -3

5a2 + 15a = 0

5a2 + 15a = 0

5(0)2 + 15(0) = 0

5(-3)2 + 15(-3) = 0

5(0) + 0 = 0

5(9) – 45 = 0

0 + 0 = 0

45 – 45 = 0

0 = 0

0 = 0

 

Sustituir estos valores en la ecuación original produce dos expresiones correctas, entonces sabemos que nuestros valores son correctos. Esta ecuación cuadrática, 5a2 + 15a = 0, tiene dos raíces: 0 y -3.

 

Podemos usar el Producto Cero de la Multiplicación para resolver ecuaciones cuadráticas de la forma ax2 + bx + c = 0. Primero factorizamos la expresión, y luego resolvemos cada una de las raíces.

 

 

Ejemplo

Problema

Resolver r.

r2 – 5r + 6 = 0.

 

 

 

r2 – 3r – 2r + 6 = 0

 

 

Expandir el término -5r usando dos coeficientes tales que su suma sea -5 y su producto sea 6.

 

(r2 – 3r) – (2r – 6) = 0

 

 

Agrupar términos

 

r(r – 3) – 2(r – 3) = 0

 

 

Sacar los factores comunes de cada grupo

 

(r – 3)(r – 2) = 0

 

Usar la Propiedad Distributiva para sacar (r – 3) como un factor

 

r – 3 = 0

r – 2 = 0

Usar la Propiedad Cero de la Multiplicación para igualar cada factor a 0

 

r = 3

r  = 2

Resolver la ecuación

Solución

 

r = 3 o r = 2

 

Las raíces de la ecuación original son 3 o 2

 

La solución de esta ecuación es r = 2 o r = 3, ya que ambos valores de r resultarán en una expresión válida. (¿Escéptico? Sustituye r por los valores 2 y 3 en la ecuación original. Te esperamos.)

 

Resolver h:

 

h(2h + 5) = 0

 

A) h = 0

 

B) h = 2 o 5

 

C) h = 0 o 2.5

 

D) h = 0 o -2.5

 

Mostrar/Ocultar la Respuesta

A) Incorrecto. Si bien h = 0 vuelve válida la ecuación (porque el primer factor es h), es posible que el segundo factor también sea 0. Esto pasa cuando h = -2.5, por lo que la respuesta correcta es h = 0 o -2.5.

 

B) Incorrecto. La Propiedad Cero de la Multiplicación dice que si h(2h + 5) = 0 entonces ya sea que h = 0 o 2h + 5 = 0. Esto sucede cuando h = 0 o -2.5.

 

C) Incorrecto. Si bien h = 0 vuelva válida la ecuación (porque el primer factor es h), el segundo factor es 0 cuando h = -2.5, no 2.5. La respuesta correcta es es h = 0 o -2.5.

 

D) Correcto. Para encontrar las raíces de esta ecuación, aplica la Propiedad Cero de la Multiplicación e iguala cada factor, h y (2h + 5), a 0. Luego resuelve h en ambas ecuaciones. Las dos respuestas son soluciones posibles.

 

 

 

Aplicando la Propiedad Cero de la Multiplicación

 

Cuando usamos la Propiedad Cero de la Multiplicación para resolver una ecuación cuadrática, necesitamos asegurarnos que la ecuación este igualada a cero. Algunas veces esto requerirá de mover los términos para que quede 0 en un lado de la ecuación.

 

Como un ejemplo, piensa en la ecuación 12x2 + 11x + 2 = 7. Podríamos factorizar el trinomio del lado izquierdo de la ecuación tal como esta, pero nos quedaría la ecuación (4x + 1)(3x + 2) = 7. ¡Y es hasta aquí a donde podemos llegar! Esta nueva ecuación nos dice que los dos factores, (4x + 1) y (3x + 2), son iguales a 7 cuando son multiplicados. Igualar cada factor a 7 y luego resolver la ecuación tampoco nos ayuda; no estamos buscando los factores que son 7; sino los factores que, cuando se multiplican, son iguales a 7. Es decir, ¡no podemos usar la Propiedad Cero de la Multiplicación cuando no hay un cero en el otro lado de la ecuación!

 

¿Entonces cuál es la solución? Para tener un cero en un lado de la ecuación, debemos restar 7 de ambos lados. Esto significa que nuestra ecuación cuadrática de 12x2 + 11x + 2 = 7 se convierte 12x2 + 11x – 5 = 0. Podemos factorizar el trinomio en lado izquierdo y luego usar la Propiedad Cero de la Multiplicación para encontrar los valores de x.

 

El ejemplo siguiente muestra cómo resolver una ecuación cuadrática donde ningún lado es originalmente igual a cero. (Nota que la secuencia de factorización ha sido acortada.)

 

Ejemplo

Problema

 

Resolver b en 5b2 + 4 = -12b

 

 

 

5b2 + 4 + 12b = -12b + 12b

 

La ecuación original tiene

-12b a la derecha. Para hacer este lado igual a cero, sumar 12b a ambos lados

 

5b2 + 12b + 4 = 0

 

Combinar términos semejantes

 

 

5b2 + 10b + 2b + 4 = 0

 

Reescribir 12b para agrupar y factorizar fácilmente

 

 

5b(b + 2) + 2(b + 2) = 0

 

Usar la Propiedad Distributiva para sacar los factores comunes de los pares de términos

 

 

(5b + 2)(b + 2) = 0

 

Usar la Propiedad Distributiva para sacar el factor (b + 2). La cuadrática queda completamente factorizada

 

5b + 2 = 0  

 

b + 2 = 0

 

b = -2

 

Aplicar la Propiedad Cero de la Multiplicación

Solución

   o b = -2

 

 

 

 

Algunas veces podemos factorizar ecuaciones cuadráticas que resultan así: 8(x + 3)(x + 2) = 0. Sabemos cómo aplicar la Propiedad Cero de la Multiplicación a los factores (x + 3) y (x + 2), pero ¿qué hacemos con el coeficiente 8? ¿Podemos aplicar la Propiedad Cero de la Multiplicación a un entero?

 

En esta situación tenemos 3 factores: 8, x + 3, y x + 2. La regla de la Propiedad Cero de la Multiplicación nos dice que si el producto de tres factores, 8(x + 3)(x + 2), va a ser igual a cero en el lado derecho de la ecuación, la única manera de que eso pueda pasar es si por lo menos uno de los tres factores en el lado izquierdo es 0. Entonces probemos cada uno de ellos:

 

El factor 8 nunca será igual a 0, entonces podemos simplemente ignorarlo como una de las posibilidades.

 

El factor x + 3 podría ser igual a cero, y lo es cuando x = -3 entonces lo es.

 

El factor x + 2 podría ser igual a cero, y lo es cuando x = -2 entonces lo es.

 

Entonces nuestras soluciones para la ecuación original son x = -3 o x = -2, el factor 8 no contribuye a una tercera solución.

 

Resolver m.

 

2m2 + 10m = 48

 

A) m =  3 o -8

 

B) m = -3 o 8

 

C) m = 0 o -5

 

D) m = 0 o 5

 

Mostrar/Ocultar la Respuesta

A) Correcto. Para encontrar las raíces de esta ecuación, sigue el siguiente procedimiento:

La ecuación original tiene 48 a la derecha. Para igualar este lado a 0, resta 48 a ambos lados: 2m2 + 10m – 48 = 0

Factorizar el factor común, 2: 2(m2 + 5m – 24) = 0

Reescribir 5m para hacer más fácil agrupar y factorizar: 2(m2 + 8m – 3m – 24) = 0

Usa la Propiedad Distributiva para sacar los factores comunes en lo pares de términos: 2[m(m + 8) – 3(m + 8)] = 0.

Usar la Propiedad Distributiva para sacar el factor común (m + 8). La cuadrática ha sido completamente factorizada: 2(m + 8)(m – 3) = 0.

Aplicar la Propiedad Cero de la Multiplicación: m + 8 = 0 o m – 3 = 0.

Resolver las ecuaciones individuales: m = -8 o 3.

 

B) Incorrecto. Probablemente factorizaste mal la cuadrática o resolviste incorrectamente las ecuaciones individuales. La respuesta correcta es m = -8 o 3.

 

C) Incorrecto. Probablemente factorizaste 2m2 + 10m como 2m(m + 5) y luego igualaste los factores a 0. Sin embargo, la ecuación original no es igual a o, sino a 48. Para usar la Propiedad Cero de la Multiplicación , un lado debe ser 0. La respuesta correcta es m = -8 o 3.

 

D) Incorrecto. Probablemente factorizaste 2m2 + 10m como 2m(m + 5) y luego igualaste los factores a 0. Sin embargo, la ecuación original no es igual a o, sino a 48. Para usar la Propiedad Cero de la Multiplicación , un lado debe ser 0. La respuesta correcta es m = -8 o 3

 

 

Sumario

 

Podemos encontrar soluciones, o raíces, de ecuaciones cuadráticas si igualamos un lado a cero, factorizamos el polinomio, y luego aplicamos la Propiedad Cero de la Multiplicación. La Propiedad Cero de la Multiplicación establece que si ab = 0, entonces a = 0 o b = 0, o ambos a y b son 0. Cuando el producto de factores es igual a cero, uno o más de los factores debe ser también igual a cero. Una vez que el polinomio es factorizado, iguala cada factor a cero y resuélvelos separadamente. Las respuestas serán el conjunto de soluciones para la ecuación original.