Factorizando Productos Especiales

 

Objetivo de Aprendizaje

·         Identificar y factorizar productos especiales de binomios.

 

 

Una de las claves para factorizar es encontrar relaciones entre los valores a, b, y c de los trinomios con forma ax² + bx + c. Ser capaz de pensar rápidamente en posibles combinaciones de números, y luego usar esas combinaciones, es una habilidad importante que requiere paciencia y práctica.

 

Aprender a reconocer algunos tipos de polinomios comunes disminuirá el tiempo dedicado a factorizarlos. Conocer los patrones característicos de productos especiales, por ejemplo trinomios que provienen de elevar binomios al cuadrado, provee un atajo para encontrar sus factores.

 

¿Curioso sobre cuáles son estos patrones? Veamos.

 

 

Los cuadrados perfectos son números producidos por elevar un entero al cuadrado. Por ejemplo 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, y 100 son todos cuadrados perfectos: provienen de elevar al cuadrado los números del 1 al 10.

 

Si el término c de un trinomio x² + bx + c es un cuadrado perfecto, entonces es posible que sea un trinomio cuadrado perfecto, un trinomio que es el producto de un polinomio multiplicado por sí mismo. Si lo es, será fácil de factorizar.

 

Considera el trinomio, x² + 6x + 9. El término c, 9, es un cuadrado perfecto. Vamos a factorizarlo para ver qué pasa. (Recuerda, para factorizar trinomios de la forma x² + bx + c, debes encontrar dos enteros, r y s, cuya suma sea b y producto sea c. Reescribe el trinomio como x² + rx + sx + c y luego agrupas y usas la Propiedad Distributiva para factorizar el polinomio.)

 

 

Mira eso — hay muchos cuadrados por ahí. Los términos a y c son cada uno cuadrados perfectos, el término b es el doble del producto de las raíces cuadradas de esos términos, y los factores del trinomio son un cuadrado perfecto. Todo esto parece ser importante.

 

Intentemos otro ejemplo para ver si lo es.

 

Vamos a factorizar 9x² – 24x + 16. Para este trinomio, necesitamos encontrar dos número cuya suma sea -24 y el producto sea 9 • 16, o 144.

 

Intentemos el número 12, ya que 12 es la raíz cuadrada de 144. Mientras que 12 • 12 = 144, 12 + 12 = 24. Esto no está bien — buscamos una suma de -24, no +24.

 

Pero espera — ¿qué pasa si usamos -12 en lugar de +12? Sabemos que -12 • -12 = 144, y que (-12) + (-12) = -24. ¡Funciona entonces! Podemos dividir -24x en -12x y -12x y factorizar.

 

 

En este ejemplo, los términos a y c son cuadrados perfectos, el término b es el doble de la raíz cuadrada del término a por la raíz cuadrada del término c, y los factores del trinomio son cuadrados perfectos. Sí, ¡tenemos un patrón!

 

Esto nos lleva a la regla general para factorizar trinomios cuadrados perfectos:

 

Trinomios Cuadrados Perfectos   Un trinomio de la forma r2 + 2rs + s2 puede ser factorizado como (r + s)2. Un trinomio de la forma r2 – 2rs + s2 puede ser factorizado como (r – s)2. Ejemplos: La forma factorizada de 4x2 + 20x + 25 es (2x + 5)2. La forma factorizada de x2 – 10x + 25 es (x – 5)2.

 

 

 

Una advertencia: Ten cuidado de no cometer los dos errores más comunes que comete la gente cuando aprende a trabajar con trinomios cuadrados perfectos.

 

Algunas personas intentan factorizar un binomio r² + s² como (r + s)². De manera similar, el binomio (r – s)², a primera vista podrían pensar que se evalúa como r² – s². ¡Esto es un error! Veamos (r + s)² y (r – s)² en su forma expandida.

 

 

La forma expandida de un binomio al cuadrado tienen un término en medio — ¡es un trinomio! Este es el producto (literalmente) de aplicar la Propiedad Distributiva cuando multiplicamos los binomios: multiplicamos r • r, luego r • s, luego s • r, luego s • s, resultando en r² + rs + rs + s², o simplemente r² + 2rs + s².

 

Factorizar: a2 – 12a + 36   A) (a – 4)(a – 9)   B) (a + 6)2   C) (a – 6)2   D) (a + 6)(a – 6)   Mostrar/Ocultar la Respuesta A) Incorrecto. Si bien 4 • 9 te da el término constante 36, el término de en medio sería –13a en lugar de –12a. La respuesta correcta es (a – 6)2.   B) Incorrecto. Si bien 62 es 36, el término de en medio en el polinomio original es negativo, por lo que necesitas un negativo en el binomio que elevas al cuadrado. La respuesta correcta es (a – 6)2.   C) Correcto. Este es un trinomio cuadrado perfecto r2 – 2rs + s2 donde r = a y s = 6. La forma factorizada es (r – s)2, o (a – 6)2.   D) Incorrecto. Este es un trinomio cuadrado perfecto r2 – 2rs + s2 donde r = a y s = 6, entonces la forma factorizada sería (r – s)2, o (a – 6)2. Nota que si expandes (a + 6)(a – 6), obtienes a2 + 6a – 6a – 36. El 36 está restado en lugar de sumado, y el 6a – 6a resulta en un término de en medio igual a 0 (lo que significa que simplemente no hay término).

 

 

 

Polinomios de la forma r² – s² también son considerados un caso especial. Mientras que podría ser tentador pensar que estos polinomios pueden factorizarse como (r – s)², acabamos de ver cómo y por qué este no es el caso.

 

Tomemos un momento para ver si podemos factorizar este tipo de expresión usando lo que sabemos de agrupación y de la Propiedad Distributiva

 

Vamos a factorizar 9x² – 4.

 

Este polinomio se ve un poco diferente que algunos de los problemas que ya hemos resuelto. Esto es porque no parece un trinomio — ¡sólo hay dos términos! Estamos acostumbrados a pensar en, y factorizar, trinomios de la forma ax² + bx + c. A este polinomio parece faltarle el término bx.

 

En lugar de pensar que le falta el término bx, más bien, ¿qué sería si le asignamos un valor de 0 a b? Si pensamos en la expresión de esta forma, la podemos poner en forma de trinomio, y con un poco de suerte podremos aplicar lo que sabemos sobre trinomios para factorizarlo. Entonces en lugar de escribir 9x² – 4, vamos a reescribir este polinomio como 9x² + 0x – 4. Representar el término de en medio como 0x no cambia el valor del trinomio; no estamos sumando ni restando nada, simplemente tomando pasos para representar el término bx en el polinomio.

 

9x² + 0x – 4 se acomoda a nuestra forma estándar de un trinomio, ax² + bx + c. Vamos a factorizar este trinomio de la misma forma que cualquier otro: encontrando dos enteros, r y s, que sumados nos den b (0) y multiplicados nos den ac (9 • -4 = -36).

 

 

Buscando en nuestra lista de posibles factores, sólo un par tiene como producto -36 y como suma 0: 6 y -6. Vamos a expandir nuestro término 0x como 6x – 6x mientras factorizamos. 

 

 

¡Entonces 9x² – 4 se factoriza como(3x + 2)(3x – 2)! Nota que 3x es la raíz cuadrada de 9x² y 2 es la raíz cuadrada de 4. Este patrón sucede para todos los binomios de la forma r² – s².

 

Diferencia de Binomios Cuadrados   Un binomio de la forma r2 – s2 tiene los factores (r + s)(r – s).   Ejemplos: La forma factorizada de x2 – 100 es (x + 10)(x – 10). La forma factorizada de 49y2 – 25 es  (7y + 5)(7y – 5).

 

 

Algunos polinomios podrían parecer más difíciles de factorizar porque tienen muchos términos. Por ejemplo, el polinomio 3x³ + 9x² – 12x + 36 tiene 4 términos. Sin embargo, ya tenemos herramientas para factorizar completamente expresiones como esta. Echemos un vistazo a este polinomio para ver si podemos hacerlo.

 

Primero, revisemos las herramientas que tenemos hasta ahora

 

Herramientas de Factorización   Factores comunes Un primer paso conveniente cuando tratamos de factorizar un polinomio es buscar factores comunes entre todos los términos. Esto incluye enteros (como 6, -3, o -1) y variables.   Productos especiales Buscar productos especiales que tengan atajos para factorizar: r2 + 2rs + s2 = (r + s)2 r2 – 2rs + s2 = (r – s)2 r2 – s2 = (r + s)(r – s)   Agrupar Usar agrupación para factorizar buscando factores comunes en pares de términos en lugar de en todos los términos. En el caso de trinomios de la forma ax2 + bx + c, dividir uno de los términos (bx) en dos términos y luego agrupar.

 

Ahora, veamos si podemos usar estas herramientas para factorizar el polinomio.

 

 

 

Aprender a identificar ciertos patrones en polinomios nos ayuda a factorizar rápidamente algunos "casos especiales" de polinomios:

 

• trinomios cuadrados perfectos, r² + 2rs + s² y r² – 2rs + s², que se factorizan como (r + s)² y (r – s)², respectivamente;
• la diferencia del cuadrado de un binomio, r² – s², que se factoriza como (r + s)(r – s).

 

Para algunos polinomios, podemos combinar técnicas (buscar factores comunes, agrupar, y usar productos especiales) para factorizar completamente el polinomio.