Factorizando Trinomios por Agrupación 2

 

Objetivo de Aprendizaje

·         Factorizar polinomios de la forma ax² + bx + c usando la técnica de agrupación.

 

 

Saber cómo factorizar trinomios de la forma x² + bx + c es útil, pero ¿qué pasa cuando hay un coeficiente, a, antes del primer término x²?

 

La forma general de trinomios con un coeficiente a al inicio es ax² + bx + c. Para factorizarlos, usaremos lo que sabemos de trinomios que contienen sólo el término x² y extender ese conocimiento para incluir el coeficiente a. También consideramos algunos trucos y consejos para factorizar estos polinomios.

 

 

Los trinomios pueden incluir un coeficiente antes del término x². Si llamamos a este coeficiente a, la forma general de este tipo de trinomios es ax² + bx + c. El coeficiente le agrega un poco de complejidad a la factorización, pero aún así podemos encontrar los factores usando la técnica de agrupación y luego usar la Propiedad Distributiva.

 

Esta es la estrategia para factorizar trinomios de la forma ax² + bx + c, con a ≠ 1:

 

Factorizando Trinomios   Para factorizar un trinomio de la forma ax2 + bx + c, encontrar dos enteros, r y s, que sumados sean igual a b y multiplicados sean igual a ac. Reescrbir el trinomio como ax2 + rx + sx + c y luego usar agrupación y la Propiedad Distributiva para factorizar el polinomio.

 

No es tan distinto que factorizar trinomios sin un coeficiente al inicio.

 

Veamos cómo funciona esta estrategia factorizando 6z² + 11z + 4.

 

En este trinomio, a = 6, b = 11, y c = 4. De acuerdo con la estrategia, necesitamos encontrar dos factores, r y s, que sumados sean b (11) y multiplicados sean c (o 6 • 4 = 24). Podemos crear una tabla para organizar todas las combinaciones posibles de factores. (Nota que esta tabla sólo tiene números positivos. Ya que ac es positivo y b es positivo, podemos estar seguros de que los dos factores que buscamos son también números positivos.)

 

 

Sólo hay una combinación en la cual r • s = 24 y r + s = 11: cuando r = 3, y s = 8. Usemos estos valores para factorizar nuestro trinomio original.

 

 

Y ahí lo tenemos: la forma completamente factorizada de 6z² + 11z + 4 es (2z + 1)(3z + 4). Usamos agrupación para organizar los términos y la Propiedad Distributiva para sacar los factores comunes.

 

También podemos usar este método para factorizar trinomios de la forma x² + bx + c. Si pensamos en x² + bx + c como ax² + bx + c en el cual el coeficiente x² (o a) es 1, entonces ac = 1 • c, o simplemente c. Entonces la estrategia que usamos para factorizar trinomios de la forma x² + bx + c, encontrar dos números cuya suma sea b y producto sea c, es sólo un caso especial del método general para factorizar trinomios de la forma ax² + bx + c.

 

Antes de continuar, vale la pena mencionar que no todos los trinomios pueden ser factorizados usando pares enteros. Por ejemplo el trinomio 2z² + 35z + 7. ¿Se te ocurren dos enteros que sumados den s b (35) y multiplicados den ac (2 · 7 = 14)? ¡No existen! Llamamos a este tipo de trinomio, que no puede ser factorizado usando números enteros, trinomio primo.

 

 

Algunas veces los factores más fáciles de sacar de un trinomio son enteros. Por ejemplo el caso de, 6x² – 26x – 20. ¿Notas algún factor común entre los tres términos? a = 6, b = -26, y c = -20, y un factor común es 2. Usando de nuevo la Propiedad Distributiva, podemos sacar un factor de 2 de cada término y reescribir el trinomio como 2(3x² – 13x – 10). Y entonces podemos factorizar 3x² – 13x – 10.

 

Veamos cómo factorizar 6x² – 26x – 20 de dos formas: sacando el factor común al principio, o dejarlo para el final.

 

 

 

 

 

Hemos llegado a la misma solución usando ambos métodos. Sin embargo, observa cuando tuvimos que expandir el término bx en ambos métodos. Cuando sacamos el factor 2 al principio, tuvimos que buscar dos números con suma -13 y producto -30; pero cuando dejamos el factor 2 dentro del problema, como hicimos en la Solución 2, tuvimos que encontrar dos números con suma -26 y producto -120.

 

Esta es la razón por la que mucha gente prefiere sacar el máximo factor común antes de factorizar. Sacar el MFC al principio normalmente puede hacer más fácil la tarea de factorizar, ya que los valores resultantes para a, b, y c serán un número más pequeño, y entonces habrá menos combinaciones de enteros cuya suma sea b y producto sea ac.

 

Veamos otro ejemplo: 5t³ + 15t² – 20t. Este podría verse diferente porque el exponente más alto de la variable es un 3, pero veremos que en realidad este es el mismo tipo de problema que el de los ejemplos anteriores.

 

 

 

También nos encontraremos con algunos problemas donde el término a es negativo, como en -4h² + 11h + 3. Normalmente tiene sentido factorizar el -1 como el primer paso de la factorización, porque al hacerlo cambiamos el signo de ax² de negativo a positivo, volviendo el trinomio resultante más fácil de factorizar.

 

 

 

Algunas veces trinomios tendrán la forma de ax² + bx + c, en la cual a es un coeficiente mayor que 1. Para factorizar estos trinomios, hay que encontrar dos enteros, r y s, cuya suma sea b y multiplicación sea ac. Luego hay que reescribir el trinomio como ax² + rx + sx + c agrupar y usar la Propiedad Distributiva para factorizar el polinomio.

 

En casos cuando a, b, y c son múltiplos del mismo entero, tiene sentido sacar ese entero como un primer paso de la factorización. Otras variables comunes a los términos también pueden ser sacadas de la misma manera. De manera similar, cuando ax² es negativo, un primer paso puede ser factorizar -1 de todo el trinomio antes de continuar.