Factorizando y la Propiedad Distributiva

 

Objetivo de Aprendizaje

·         Usar la Propiedad Distributiva para factorizar un polinomio y obtener un monomio.

 

 

Los factores son números que se multiplican juntos para producir otro número. Por ejemplo, 2 y 10 son factores de 20, también lo son 4 y 5 y 1 y 20. Factorizar es el proceso de desbaratar un número en sus factores multiplicativos. Factorizar tiene muchas aplicaciones en matemáticas; el romper un valor en varios pedazos nos da nuevas formas de entenderlo y manipularlo.

 

De la misma forma que un entero puede ser escrito como el producto de factores, también cualquier monomio o polinomio puede ser expresado como un producto de factores. Factorizar es muy útil para simplificar y resolver ecuaciones que tiene polinomios.

 

Los factores de un valor siempre incluyen lo que llamamos factores primos, los cuales no tienen factores además del 1 y ellos mismos (en otras palabras, son números primos), Por ejemplo, 2 es un factor primo de 20 porque sus únicos factores son 1 y 2. Pero 10 no es un factor primo porque 10 puede ser factorizado no sólo por 1 y 10 sino también por 2 y 5.

 

El proceso de desbaratar un número a sus factores primos se llama factorización prima.

 

 

Tomemos una tarea común en factorización — encontrar el [máximo factor común (MFC)] de dos números enteros — para empezar. El MFC de dos números es el número más grande que es factor a ambos números. Para encontrar el MFC, debes factorizar los dos números para encontrar sus factores primos, identificar qué factores primos tienen en común, y luego multiplicarlos.

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Ya que el MFC es el producto de dos factores primos que los números tienen en común, sabemos que es un factor de ambos números. (Si quieres comprobar esto, divide 210 y 168 entre 42 — ¡ambos son divisibles entre este número!)

 

Vale la pena mencionar que a pesar de que 210 y 168 han sido desbaratados en sus factores primos en el ejemplo de arriba, pudimos haber obtenido el mismo resultado usando cualquier otro factor. De haber factorizado los números como se muestra abajo y habríamos llegado al mismo MFC de 42. Pero usar este método es un poco delicado, ya que debemos ser capaces de reconocer que los factores no comunes (en este caso 5 y 4) no comparten ningún factor común que no sea 1.

 

 

 

 

Encontrar el máximo factor común de un conjunto de monomios no es muy distinto de encontrar el MFC de dos números enteros. Nuestro método es el mismo: debemos factorizar cada monomio por separado, encontrar los factores comunes, y multiplicarlos para obtener el MFC.

 

Empecemos por encontrar el máximo factor común de 15b² y 20b. Ciertamente este problema se ve diferente a los que estamos acostumbrados; en lugar de tener sólo números enteros, también tiene los términos variables b² y b. Primero factoricemos estos monomios, recordando que los términos variables deben ser factorizados también. ¿Puedes encontrar los factores comunes entre 15b² y 20b?

 

 

Los monomios tienen los factores 5 y b en común, lo que significa que su máximo factor común es 5 • b, o simplemente 5b.

 

Intentemos otro problema antes de continuar: encontrar el máximo factor común de 81c⁴d y 45c²d. Primero factorizaremos 81c⁴d y 45c²d, luego buscamos factores comunes. Nota que estos monomios tienen dos variables cada uno.

 

 

Este ejemplo nos muestra 81c⁴d y 45c²d como productos de factores primos. Conforme te familiarizas con la factorización de monomios, empezarás a encontrar factores comunes sin la necesidad de reducir los monomios a sus factores primos. Por ejemplo, pudiste haber factorizado los monomios así:

 

 

Nota que esta factorización también nos lleva al mismo MFC: 9c²d.

 

Encontrar el máximo factor común de 56xy y 16y3.   A) 8   B) 8y   C) 16y   D) 8xy3   Mostrar/Ocultar la Respuesta A) Incorrecto. 8 es un factor común, pero también debes tomar en cuenta los términos variables que los dos monomios tienen en común. La respuesta correcta es 8y.   B) Correcto. La expresión 56xy puede ser factorizada como 8 • 7 • x • y, y 16y3 puede ser factorizada como 8 • 2 • y • y • y. Ambas tienen los factores 8 y y. Cuando los multiplicas obtienes el MFC: 8y.   C) Incorrecto. y es un factor común, pero 16 no; ¡56 no es divisible entre 16! Piensa en números que sean factores de 56 y 16. La respuesta correcta es 8y.   C) Incorrecto. 8 es un factor común, pero también debes tomar en cuenta los términos variables que los dos monomios tienen en común. El término xy3 no es factor de ningún monomio. La respuesta correcta es 8y.

 

 

 

Cuando dos o más polinomios son combinados (ya sea sumados o restados), la expresión resultante se llama polinomio. Podemos factorizar polinomios usando un poco de la misma lógica que aplicamos para factorizar monomios.

 

Recuerda que factorizar es el proceso de desbaratar un número en sus componentes multiplicativos. Cuando vea los ejemplos abajo de polinomios simples, trata de identificar factores que los términos del polinomio tienen en común.

 

 

Para factorizar un polinomio, primero identifica el máximo factor común de los monomios. Luego usa la Propiedad Distributiva para reescribir el polinomio como un producto del MFC y las otras partes del polinomio. (Recuerda, la propiedad distributiva dice que a(b + c) = a • b + a • c.) Esta expresión será la forma factorizada de un polinomio.

 

 

Observa cómo podemos "sacar" el factor común de cada polinomio. Sabemos que ambos términos en el polinomio son divisibles entre su MFC, entonces podemos reescribir cada polinomio como el producto del MFC y lo factores combinados "que sobraron" de cada monomio.

 

Sigamos paso a paso el proceso de factorizar un polinomio.

 

 

Para asegurarnos de que esto es correcto, podemos multiplicar 6d • (4d – 3), para ver si obtenemos la forma original del polinomio, 24d² – 18d.

 

La forma factorizada del polinomio consiste en que cada polinomio está escrito como un producto de factores, y cada factor que no es monomio, no tiene factores comunes en sus términos. Por ejemplo, los factores de 6d(4d – 3) son 6, d, y 4d – 3. Los dos términos de 4d – 3 no tienen factores comunes.

 

Como un último ejemplo, regresemos a un conjunto de monomios para los cuales ya hemos encontrado antes el MFC: 81c⁴d y 45c²d. Si sumamos estas dos cantidades y formamos un polinomio, ¿cómo lo factorizamos?

 

 

Conocer el máximo factor común de los dos monomios nos ayudó a factorizar todo el polinomio. Después de identificar el MFC, usamos la Propiedad Distributiva para llegar a la forma factorizada: 9c²d(9c² + 5).

 

Factorizar: 8r4 – 11r3.   A) 88(r4 – r3)   B) 8r(r3 – 3)   C) r3(r – 1)   D) r3(8r – 11)   Mostrar/Ocultar la Respuesta A) Incorrecto. 88 es el mínimo común múltiplo, no el máximo factor común, de 11 y 8. Si 88(r4 – r3) fuera expandido, se convertiría en 88r4 – 88r3, no 8r4 – 11r3. La respuesta correcta es r3(8r – 11).   B) Incorrecto. 8 no es factor común de 8 y 11. Si 8r(r3 – 3) fuera expandido, se convertiría en 8r4 – 24r, no 8r4 – 11r3. La respuesta correcta es r3(8r – 11).   C) Incorrecto. r3 es factor común, pero los valores de 8 y 11 no han sido incluidos en la factorización. Si r3(r – 1) fuera expandido, se convertiría en r4 – r3, no 8r4 – 11r3. La respuesta correcta es r3(8r – 11).   D) Correcto. Los valores 8 y 11 no tienen factores comunes, pero el MFC de r4 y r3 es r3. Usando la Propiedad Distributiva, podemos reescribir el polinomio como r3(8r – 11).

 

 

 

Cualquier monomio o polinomio puede ser expresado como un producto de factores. Para factorizar polinomios, usamos algunas de las mismas técnicas que aplicamos al factorizar enteros. Una vez que un polinomio de la forma a • b + a • c ha sido reescrito como a(b + c), donde a es el MFC, decimos que el polinomio está en su forma factorizada.