Productos Especiales de Polinomios
Objetivo de Aprendizaje
· Identificar y multiplicar productos de binomios
Introducción
Ciertos tipos de multiplicación de binomios a veces producen resultados que son llamados productos especiales. Los productos especiales tienen términos predecibles. Si bien la Propiedad Distributiva siempre se puede usar para multiplicar binomios, reconocer aquellos que producen productos especiales proporciona un atajo para resolver problemas.
Llamamos "el cuadrado" a un número que se multiplica a si mismo porque podemos representar la multiplicación con un cuadrado. El número elevado al cuadrado es la longitud del lado del cuadrado y el producto está representado por el área del cuadrado. Considera un cuadrado cuyo lado se describe por el binomio x + 3:
x + 3
Podemos hacer un acercamiento al cuadrado y mostrar un poco más detalle si creamos una imagen que muestre la variable y los términos constantes como:
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| x | 1 | 1 | 1 |
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x
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x2
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x |
x |
x |
| 1 | x | 1 | 1 | 1 |
| 1 | x | 1 | 1 | 1 |
| 1 | x | 1 | 1 | 1 |
Dada este modelo de área, podemos ver que el área podría ser descrita por la suma de las piezas, rojas, verdes y amarillas. Entonces, el área es x2 + 6x + 9. O (x + 3)2 = x2 + 6x + 9.
También podemos usar lo que sabemos sobre multiplicación de binomios para encontrar el cuadrado de una suma de dos términos usando la Propiedad Distributiva. A continuación se muestra un ejemplo.
| Ejemplo | |||
| Problema | Encontrar (x + 5)2 |
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(x + 5)(x + 5) |
| Multiplicar el binomio por sí mismo – elevarlo al cuadrado. |
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x(x + 5) + 5(x + 5) |
| Usar la Propiedad Distributiva para multiplicar cada término del primer binomio por el segundo binomio |
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| x2 + 5x + 5x + 25 |
| Agrupar términos semejantes |
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| x2 + 10x + 25 |
| Combinar términos semejantes |
| Solución | x2 + 10x + 25 |
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Hasta ahora, hemos mostrado dos ejemplos del cuadrado de la suma de dos términos, uno que consiste en construir un modelo de área y el otro en cálculos algebraicos:
(x + 3)2 = x2 + 6x + 9
(x + 5)2 = x2 + 10x + 25
¿Notas un patrón? En ambos casos, el primer término en el binomio es elevado al cuadrado para obtener el primer término en el producto (x2 = x2). El último término en el binomio es también elevado al cuadrado para obtener el último término en el producto (32 = 9 y 52 = 25).
Ahora, ¿qué pasa con el término de en medio? ¿Existe un patrón aquí también? No es tan obvio, pero existe uno. El término de en medio del producto es dos veces el producto de los términos del binomio (2 • 3x = 6x, y 2 • 5x = 10x).
Echemos un vistazo a otro ejemplo para ver si estos patrones suceden siempre.
| Ejemplos | |||
| Problema | (2x +6)2 |
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| (2x + 6) (2x + 6) |
| Multiplicar el binomio por sí mimo |
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| 2x(2x + 6) + 6(2x + 6) |
| Usar la Propiedad Distributiva para multiplicar cada término del primer binomio por el segundo binomio |
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| 4x2 + 12x + 12x + 36 |
| Notar que hay dos términos 12x. Uno viene de 2x(x + 6) y el otro de 6(2x + 6) |
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| 4x2 + 24x +36 |
| Combinar términos semejantes |
| Solución | 4x2 + 24x +36 |
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El mismo patrón emerge en este producto. El término 2x es elevado al cuadrado para obtener 4x2, y 6 es elevado al cuadrado para obtener 36. 2x es multiplicado por 6 en dos ocasiones, resultando un término 24x.
Este patrón es universal a cualquier suma de dos términos elevada al cuadrado y se puede generalizar así:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Cuadrado de Una Resta
¿Existe también un patrón cuando elevas al cuadrado una diferencia entre dos términos? ¡Claro! Como la resta puede ser expresada como el opuesto de la suma, ocurre un patrón similar.
Considera elevar al cuadrado el binomio (x – 7):
| Ejemplos | |||
| Problema | (x – 7)2 |
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| (x – 7)(x – 7) |
| Reescribir como una multiplicación |
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| [x + (-7)] [x + (-7)] |
| Reescribir la resta de 7 como la suma de (-7) |
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| x[x + (-7)] + (-7) [x + (-7)] |
| Multiplicar cada término en un binomio por el otro binomio |
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| x2 + (-7)x + (-7)x + 49 |
| Distribuir |
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| x2 + (-14)x + 49 |
| Combinar términos semejantes |
| Solución | x2 – 14x + 49 |
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Si comparamos la respuesta con el problema original, podemos ver el patrón: el primer término, x, es elevado al cuadrado para obtener x2. El término de en medio en la respuesta es el doble del producto de (-7) y x, o (-14x). El último término en la respuesta es 49, el cual es el segundo término del binomio, (-7), al cuadrado. Entonces, el cuadrado de una diferencia puede ser generalizado así:
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
Veamos otro ejemplo en donde el coeficiente no es 1. Considera el ejemplo de elevar al cuadrado el binomio (4s – 3):
| Ejemplo | |||
| Problema | (4s – 3)2 |
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| (4s – 3) (4s – 3) |
| Reescribir como una multiplicación |
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16s2 – 12s – 12s + 9 |
| Multiplicar cada término en un binomio por el otro binomio |
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| 16s2 – 24s + 9 |
| Combinar términos semejantes |
| Solución | 16s2 – 24s + 9 |
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Nota que cuando un término variable tiene un coeficiente, queda incluido en la multiplicación. En el ejemplo de arriba, el primer término en la respuesta es todo el primer término elevado al cuadrado (4s • 4s = 16s2). El segundo término de la respuesta es dos veces el producto de ambos términos del binomio 2(4s • 3). Finalmente, el último término de la respuesta es el último término del binomio elevado al cuadrado (3 • 3 = 9).
¿Suena familiar? Es la misma fórmula generalizada de elevar al cuadrado una diferencia:
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
Sólo recuerda que si el primer término tiene un coeficiente, debes incluirlo en la multiplicación.
| Encontrar el producto: (2a – 9)2
A) 4a2 – 81
B) 4a – 18
C) 4a2 – 36a + 81
D) 4a2 + 18a – 18
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Producto de Una Suma y Una Diferencia
Existe un tercer producto "especial" qué considerar cuando se trata de binomios. Este resulta de la multiplicación de la suma de dos términos por la diferencia de los mismos dos términos. En este caso, existe también un patrón que describe el producto. Aquí hay un ejemplo:
| Ejemplo | |||
| Problema | (x + 8)(x – 8) |
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| x(x – 8) + 8(x – 8) |
| Multiplicar cada término en el primer binomio por el segundo binomio |
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| x2 – 8x + 8x – 64 |
| Distribuir |
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| x2 – 64 |
| Sumar términos similares |
| Solución | X2 – 64 |
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Nota que la respuesta de este producto de binomios es también un binomio — la diferencia de dos cuadrados perfectos. En este caso, no existe ningún término en medio. ¿Por qué pasa esto? Porque uno es una suma y el otro es una resta, y además son el mismo número, los términos de en medio son opuestos (uno positivo y el otro negativo). El producto de una suma y una diferencia puede generalizarse así:
(a + b)(a – b) = a2 – b2
| Productos Especiales de Binomios
Producto de una Suma: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Producto de una Diferencia: (a – b)2 = a2 – 2ab + b2
Producto de una Suma & una Diferencia: (a + b)(a – b) = a2 – b2
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Identificando Productos Especiales
Examinemos las características de polinomios que resultan en los productos "especiales" que hemos estado discutiendo. ¿Podemos ver un polinomio y saber si es una suma o una resta cuadrada — (a + b)2 o (a – b)2 — o el producto de una suma y una diferencia, (a + b)(a – b)?
Una de las características de los productos especiales es que el primero y último término de estos polinomios son cuadrados perfectos (a2 y b2). Esto nos dice que el polinomio podría ser el resultado de un producto especial. (Para determina si los términos son cuadrados perfecto, el polinomio debe ser escrito con los términos variables en orden decreciente de exponentes. Por ejemplo, como x2 + 2x + 1, no 2x + x2 + 1.)
Si el primero y último términos NO son cuadrados perfectos, entonces el polinomio no es el resultado de un producto especial y podemos dejar de buscar el resto de las características del polinomio.
Si el primero y último son cuadrados perfectos, necesitamos observar otras características del polinomio. Necesitamos ver si existe un término de en medio.
No existe término en medio: Si no existe un término en medio y el binomio es una diferencia, entonces el binomio debe ser el producto de una suma y una diferencia de dos términos. Aunque debes tener cuidado, porque el binomio DEBE ser una diferencia.
| Ejemplo | |||||||
| Problema | ¿Es 16y2 – t2 el cuadrado de un binomio o el producto de una suma y una diferencia? |
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| 16y2 = (4y)(4y)
t2 = t • t. |
| ¿Son los primero y último términos cuadrados perfectos?
Sí – proceder
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16y2 – t2 |
| ¿Existe un término en medio en el polinomio?
No. Esto significa que podría ser el producto de una suma y una diferencia
| ||||
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16y2 – t2 |
| ¿Es el binomio una diferencia? En otras palabras, ¿los dos términos son combinados por una resta?
Sí. Esto significa que el binomio es el producto de una suma y una diferencia de dos términos
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| Solución | Sí, 16y2 – t2 es el producto de una suma y una diferencia (4y + t)(4y – t). |
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| ||||
El término de en medio está presente: Si existe un término en medio del polinomio, primero revisamos si el último término está siendo sumado o restado. Si el último término es restado, entonces el polinomio no es el resultado de un producto especial y no necesitamos seguir examinando el polinomio.
Si el último término ha sido sumado, el polinomio podría ser un producto especial y tenemos que continuar con el siguiente paso del examen.
Luego, revisamos si el término de en medio es el doble producto de la raíz de los primero y último términos. Si el primer término es a2 y el último término es b2, ¿es el término de en medio 2ab? Si lo es, entonces el polinomio es el cuadrado de una suma o el cuadrado de una diferencia.
¡Es una lista larga de requerimientos! Intentemos otro ejemplo para ver cómo funciona:
| Ejemplo | ||||||
| Problema | Es 4x2 + 20xy + 25y2 el cuadrado de dos binomios o el producto de una suma y una diferencia? |
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| 4x2 = (2x)(2x)
25y2 = (5y) (5y) |
| ¿Son los primero y último términos cuadrados perfectos?
Sí – proceder
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4x2 + 20xy + 25y2 |
| ¿Existe un término en medio en el polinomio?
Sí, 20xy.
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4x2 + 20xy + 25y2 |
| ¿Está siendo el último término sumado al polinomio?
Si.
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| ¿Es el término de enemigo el doble producto de los cuadrados de el primero y último términos?
Sí. 2 •
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| Solución | 4x2 + 20xy + 25y2 es el cuadrado del binomio (2x + 5y) |
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= 20xy. Esto significa que el polinomio es el cuadrado de una suma o el cuadrado de una diferencia
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¿Cuáles de los polinomios mostrados son productos especiales?
100x2 – 25 x2y2 + 4x + 16 y2 – 18y + 81
A) Los tres polinomios son productos especiales.
B) Sólo 100x2 – 25 y y2 – 18y + 81 son productos especiales.
C) Sólo 100x2 – 25 y x2y2 + 4x + 16 son productos especiales.
D) Ninguno de los polinomios mostrados es un producto especial.
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Sumario
Algunos productos que resultan de multiplicar binomios siguen un patrón predecible que los hace fáciles de simplificar. Se les conoce como productos especiales. Existen tres productos especiales de binomios y cada uno sigue una fórmula específica:
Productos Especiales de Binomios
Producto de una Suma: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Producto de una Diferencia: (a – b)2 = a2 – 2ab + b2
Producto de una Suma & una Diferencia: (a + b)(a – b) = a2 – b2
Los polinomios pueden ser identificados como productos especiales al examinar las características de sus términos.
