Multiplicando Polinomios

 

Objetivo de Aprendizaje

·         Multiplicar polinomios y juntar términos semejantes que resultan de la suma de monomios.

 

 

Multiplicar polinomios implica aplicar las reglas de los exponentes y la Propiedad Distributiva para simplificar el producto. Esta multiplicación también puede ilustrarse con un modelo de área y puede ser útil al modelar situaciones del mundo real. Entender los productos de polinomios es un paso importante para factorizar y resolver ecuaciones algebraicas.

 

 

La Propiedad Distributiva puede ser usada para multiplicar un polinomio por un monomio. Sólo recuerda que el monomio debe ser multiplicado por cada término en el polinomio. Considera la expresión 2x(2x² + 5x + 10).

 

Esta expresión puede ser modelada con un esquema como el mostrado abajo. Este modelo se llama modelo de área porque las piezas rectangulares representan el área creada por la multiplicación de un monomio y un polinomio.

 

 

 

Podemos ver que el producto del ancho, 2x, y el largo, 2x² + 5x + 10, es el área de toda la región sombreada. El área puede dividirse en tres piezas más pequeñas. Cada una de esas piezas tiene un ancho de 2x y el largo está representado por uno de los términos del polinomio.

 

Los modelos de área son una manera útil de visualizar un problema de multiplicación. Pero también podemos encontrar el producto de dos polinomios algebraicamente, aplicando la Propiedad Distributiva. Recuerda que la Propiedad Distributiva dice que multiplicar una suma por un número es lo mismo que multiplicar cada sumando por el número y luego sumarlos: a(b + c) = ab + ac. No importa cuántos términos haya: a(b + c + d) = ab + ac + ad.

 

Intentemos una:

 

 

 

 

Ahora exploremos la multiplicación de dos binomios. Una vez más, podemos dibujar un modelo de área para ayudarnos a entender el proceso. Usaremos cada binomio como una de las dimensiones del rectángulo, y su producto como el área

 

El siguiente modelo muestra (x + 4)(2x + 2):

 

 

Cada binomio es expandido en variables individuales y números, x + 4 sobre la parte de arriba del modelo y 2x + 2 sobre el lado izquierdo. El producto de cada par de términos es un rectángulo sombreado. El área total es la suma de todos estos pequeños rectángulos, los cuales son también el producto final de multiplicar los binomios. Si combinamos todos los términos semejantes podemos escribir el producto, o el área, como 2x² + 10x + 8.

 

También podemos usar álgebra para determinar el producto de dos binomios. Simplemente multiplica cada término en un binomio por todos los términos en el otro binomio como se muestra abajo:

 

 

 

Mira de nuevo el rectángulo e identifica de dónde viene cada pieza de 2x² + 2x + 8x + 8 ¿Puedes ver dónde multiplicamos x por 2x + 2, y dónde obtuvimos 2x² de x(2x)?

 

Como la multiplicación es conmutativa, los términos pueden ser multiplicados en cualquier orden. La expresión (2x + 2)(x  + 4) tiene el mismo producto que (x  + 4)(2x + 2), ambas tienen un producto de 2x² + 10x + 8. El orden en el cual multiplicamos los binomios no importa. Lo que importa es que multipliquemos cada término en un binomio por cada término en el otro binomio.

 

El último paso en la multiplicación de polinomios es combinar los términos semejantes. Recuerda que un polinomio está simplificado sólo cuando ya no quedan términos semejantes.

 

Encuentra el producto:   (a + 10)(2a – 7)   A) 2a2 + 19a – 70   B) 3a + 3   C) 2a2 – 70   D) 2a2 + 13a – 70   Mostrar/Ocultar la Respuesta A) Incorrecto. El término medio debe ser 20a – 7a, o 13a. La respuesta correcta es D) 2a2 + 13a – 70.   B) Incorrecto. Debes multiplicar, y no sumar, los términos en un binomio por los términos en el otro binomio. La respuesta correcta es D) 2a2 + 13a – 70.   C) Incorrecto. Multiplica cada término en un binomio por los términos en el otro binomio. Faltan (a)(-7) y (10)(2a). La respuesta correcta es D) 2a2 + 13a – 70.   D) Correcto.  a(2a – 7) + 10(2a – 7) = 2a2 – 7a + 20a – 70 = 2a2 + 13a – 70

 

 

La multiplicación de binomios es usada a veces para resolver problemas de geometría. Supón que queremos encontrar el área de un triángulo con base 4x – 10 y altura 2x + 3. Para encontrar el área del triángulo, encontramos el producto de ½ de la base y la altura (esa es la fórmula del área de un triángulo). Esto se puede mostrar con la siguiente expresión (4x – 10)(2x + 3).

 

 

 

 

Otro tipo de multiplicación de polinomios es el producto de un binomio y un trinomio. Aquí también, el proceso es el mismo que con los otros tipos. Cada término en el binomio debe ser multiplicado por cada uno de los términos del trinomio. Dos ejemplos se muestran abajo.

 

 

 

El siguiente ejemplo muestra la multiplicación de un binomio por un polinomio y ambos contienen una resta

 

 

 

Encontrar el producto:   (3x – 2)(2x2 + 4x – 11)   A) 6x3 + 8x2 – 41x + 22   B) 6x3 + 8x2 – 41x – 22   C) 6x3 + 12x + 22   D) 3x3 + 8x2 + 25x – 22     Mostrar/Ocultar la Respuesta A) Correcto. 3x(2x2 + 4x – 11) – 2(2x2 + 4x – 11) = 6x3  + 12x2 – 33x – 4x2 – 8x + 22 = 6x3  + 8x2 – 41x + 22   B) Incorrecto. (-2)(-11) = 22. La respuesta correcta es A), 6x3 + 8x2 – 41x + 22.   C) Incorrecto. Cada término en el binomio debe ser multiplicado por cada término en el trinomio. La respuesta correcta es A), 6x3 + 8x2 – 41x + 22.   D) Incorrecto. Multiplica los coeficientes (3x)(2x2); combina los términos semejantes sumando/restando los coeficientes de acuerdo con su signo. La respuesta correcta es A), 6x3 + 8x2 – 41x + 22.

 

 

La multiplicación de binomios y polinomios requiere el uso de la Propiedad Distributiva y de operaciones con enteros. Ya sea que los polinomios sean monomios, binomios, o trinomios, debes multiplicar cada término en un polinomio por cada término en el otro polinomio. Ten cuidado con los signos de suma y resta y coeficientes negativos. Un producto está escrito en su forma simple si todos sus términos semejantes han sido combinados.