Simplificando Expresiones Radicales

 

Objetivo de Aprendizaje

·         Simplificar expresiones radicales numéricas y algebraicas.

 

 

Las expresiones radicales son expresiones que incluyen un radical, el cual es el símbolo de calcular una raíz. Existen muchas formas de expresiones radicales, desde simples y familiares, como , hasta complicadas, como . En cualquier caso, podemos usar lo que sabemos de los exponentes para entender dichas expresiones.

 

Empecemos por explorar los radicales; después nos preocuparemos por cómo resolverlos.

 

 

Un radical es un símbolo matemático usado para representar la raíz de un número. Veamos un ejemplo rápido: La frase "la raíz cuadrada de 81" está representada por la expresión radical . (En el caso de las raíces cuadradas, la expresión es comúnmente acortada a — nota la ausencia del pequeño "2.") Cuando encontramos  estamos encontrando el número no negativo r tal que , el cual es 9.

 

Mientras que las raíces cuadradas son probablemente el radical mas común, también podemos encontrar raíces cúbicas, raíces quintas, o cualquier otra raíz enésima de un número. La raíz enésima de un número puede ser representada por la expresión radical .

 

Los radicales y los exponentes son operaciones inversas. Por ejemplo, sabemos que 9² = 81 y  = 9. Esta propiedad puede ser generalizada a todos los radicales y exponentes: para cualquier número, x, elevado al exponente n para producir el número y, la raíz enésima de y es x.

 

Podemos representar esta propiedad como: . Aunque hay que tener en cuenta: es siempre válida si x ≥ 0, y si n es impar. Pero es inválida cuando x < 0 y n es par.

 

¿Por qué sucede esto? Es porque elevar cualquier número, positivo o negativo, a una potencia par tiene el efecto de hacer el nuevo número positivo. Este no es el caso con los exponentes impares. Por ejemplo, piensa en sustituir x = -3 y n = 2 en la fórmula de arriba.

 

El radical se escribiría como , que resulta , o 3. Pero nuestro valor inicial de x era -3, por lo que nos resulta la declaración 3 = -3. ¡Esto es falso!

 

Sacando el exponente del radical   Cuando se trabaja con exponentes y radicales: ·         Si n es impar, . ·         Si n es par, . (El valor absoluto es debido a que si x es negativa y elevada a una potencia par, el número será positivo, al igual que la raíz enésima del número.)   Nota que esto nos resulta en dos casos para cuando n es par: ·         Si x ³ 0 y n es par, . ·         Si x < 0 y n es par, .

 

 

 

Calcular la raíz cuadrada de un número requiere que hagamos una factorización. Tenemos que encontrar el número que al ser multiplicado por sí mismo produzca el número que tenemos.

Si nos pidieran encontrar , por ejemplo, probablemente nos vendría a la mente que 16 = 4² = 4 • 4. Mira — acabamos de factorizar 16 en 4 • 4.

 

La factorización es la clave para simplificar expresiones radicales. Si entendemos los exponentes como una multiplicación repetida, podemos pensar sobre los radicales de la misma manera — aunque la forma en la que pensamos sobre una multiplicación repetida bajo el signo del radical puede ser un poco diferente a lo que estamos acostumbrados.

 

Vamos a explorar esta idea de factorizar usando la expresión radical . Podemos leer esto como "la raíz cúbica de 125." Para simplificar esta expresión, buscamos un número que, cuando se multiplique por sí mismo dos veces (para un total de tres factores idénticos), resulte 125. Factoricemos 125 y veamos si podemos encontrar ese número.

 

 

Los factores primos de 125 son 5 • 5 • 5, los cuales pueden ser reescritos como 5³. La raíz cúbica de un número al cubo es el número mismo, entonces . Hemos encontrado la raíz cúbica, los tres factores idénticos que equivalen a 125.

 

125 se considera un cubo perfecto. Esto significa que la raíz cúbica de 125 es un entero. De manera similar, 81, 64, y 49 son cuadrados perfectos, porque sus raíces cuadradas también son números enteros (9, 8, y 7, respectivamente).

 

Todas las raíces pares (raíz cuadrada, raíz cuarta, raíz sexta, etc.) son números positivos. Por ejemplo,  y  deben ser positivos. Esto significa entonces, que las raíces pares existen sólo para números positivos. Un radical como es imposible de evaluar, porque ningún número multiplicado por sí mismo produciría -25.

 

Las raíces impares (raíz cúbica, raíz quinta, raíz séptima, etc.) son una cosa diferente. Podemos encontrar una raíz impar de un número negativo, como . Esta expresión radical se simplifica como -2 porque -2 • -2 • -2 = -8.

 

 

Encuentra la raíz cuadrada de 324.   A) 16   B) 18   C) 21   D) 162   Mostrar/Ocultar la Respuesta A) Incorrecto. 162 = 256. Para encontrar la raíz cuadrada de 324, factorizamos 324 y buscamos pares de factores comunes. Si factorizas 324, encontrarás que 324 = 2 • 2 • 9 • 9, o 18 • 18. El número 324 también se puede escribir como 182. La respuesta correcta es 18.   B) Correcto.  = 18. Si factorizas 324, encontrarás que 324 = 2 • 2 • 9 • 9, o 18 • 18. El número 324 también se puede escribir como 182.   C) Incorrecto. 212 = 441. Para encontrar la raíz cuadrada de 324, factorizamos 324 y buscamos pares de factores comunes. Si factorizas 324, encontrarás que 324 = 2 • 2 • 9 • 9, o 18 • 18. El número 324 también se puede escribir como 182. La respuesta correcta es 18.   D) Incorrecto. 1622 = 26,244. Dividiendo 324 entre 2 no resultará en la raíz cuadrada del número; intenta factorizando 324 y buscando pares de factores comunes. Si factorizas 324, encontrarás que 324 = 2 • 2 • 9 • 9, o 18 • 18. El número 324 también se puede escribir como 182. La respuesta correcta es 18.

 

Ahora veamos un radical que no es una raíz cuadrada perfecta: . Podemos encontrar la raíz de este radical usando el mismo método que usamos para . Factorizamos el número dentro del radical (también conocido como radicando), 63, buscando pares de factores que se puedan expresar como una potencia.

 

 

Entonces  es otra forma de escribir . Usamos la factorización así como la idea de que  para simplificar este radical. También usamos otro truco útil — hemos separado los factores dentro del radical en factores individuales, cada uno dentro de su propio radical. A este truco se le conoce como la Propiedad de la Multiplicación de Raíces Cuadradas. Nos permite sacar cuadrados perfectos en la forma de factores que ya no pueden ser simplificados.

 

 

A veces los radicales incluyen variables, como en la expresión . Para simplificar estos radicales usamos la factorización, pero también tenemos que aplicar las reglas de los exponentes. Intentémoslo:

 

 

Encontramos que la raíz cuadrada de 49x²y⁴ es 7|x|y². Para comprobar este cálculo, podemos elevar al cuadrado 7|x|y², esperando obtener 49x²y⁴. (Y, de hecho, obtendrías esta expresión si evalúas (7|x|y²)².)

 

7|x|y² es también conocido como la forma simple de esta expresión radical.

 

Forma Simple   Para estar en su forma simple, una expresión radical: ·        Ha sido factorizada completamente y todos sus factores perfectos eliminados; ·        No puede contener una fracción; ·        Si está en forma fraccionaria, el denominador no puede contener una expresión radical.

 

La forma simple no es necesariamente una "mejor" forma de representar una expresión radical, es sólo una forma de hacerlo. De hecho, algunos problemas podrían ser más fáciles de resolver con una expresión radical que no ha sido simplificada. Sin embargo, usar la forma simple puede ayudar a entender expresiones radicales más complicadas.

 

Simplifiquemos una última expresión que incluye variables y fracciones:

 

 

¡Eso fue complicado! Pero haciéndolo un paso a la vez, encontramos la solución.

 

Simplificar .   A)   B)   C)   D)   Mostrar/Ocultar la Respuesta A) Incorrecto. 8h3 es la raíz cuadrada de 64h6, no la raíz cúbica. La respuesta es 4h2.   B) Incorrecto. Para encontrar la raíz cúbica de 64h6, encuentra la raíz cúbica de 64, y luego la raíz cúbica de h6. La respuesta es 4h2.   C) Incorrecto. 4 es la raíz cúbica de 64, pero + h no se factoriza en la expresión. La respuesta es 4h2.   D) Correcto. Para simplificar la expresión, encuentra la raíz cúbica de 64 y la raíz cúbica de h6.

 

 

 

Una expresión radical es una manera matemática de representar la raíz enésima de un número. Para simplificar expresiones radicales, buscamos términos exponenciales dentro del radical, luego usamos la propiedad  para sacar cantidades. Pero recuerda que si bien esta propiedad es válida si x ≥ 0, y si n es impar, otras cosas suceden cuando x < 0 o n es par, Las reglas de los exponentes aplican cuando simplificamos expresiones radicales.