Simplificando Expresiones con Exponentes

 

Objetivo de Aprendizaje

·         Simplificar expresiones algebraicas con exponentes.

 

Introducción

 

Los exponentes pueden ser adjuntados a variables así como a números. Cuando esto sucede, las reglas básicas de los exponentes y las de la notación exponencial se aplican cuando se escriben y simplifican expresiones algebraicas que contienen exponentes.

 

Reglas Simples de Exponentes

 

Veamos algunas de las reglas básicas de los exponentes.

 

Cualquier número o variable elevado a la potencia de uno es simplemente el mismo número. De la misma forma, cualquier número o variable que no muestre un exponente se le puede considerar un exponente de 1. Abajo hay algunos ejemplos:

 

51 = 5

18 = 181

x1 = x

xy = x1y1

 

Otra regla de los exponentes es que cualquier número distinto de cero o variable elevado a la potencia de 0 es igual a 1.   = 1 para x ≠ 0.

 

 

Simplifica la expresión

                    

A) 0

 

B)

 

C)

 

D)

 

Mostrar/Ocultar la Respuesta

A) Incorrecto. , no 0. La respuesta correcta es C) .

 

B) Incorrecto. , no x. La respuesta correcta es C) .

 

C) Correcto.  y

 

D) Incorrecto.  puede ser escrita de manera más simple como y. La respuesta correcta es C) .

 

 

Al igual que con los números, las variables elevadas a una potencia negativa equivalen a 1 dividido entre la variable elevada a la misma potencia pero positiva. Por ejemplo:

 

 

 

 

Exponente 0 o 1 y Exponentes Negativos

 

Cualquier número o variable elevado a la potencia de 1 es el mismo número.  

 

Cualquier número distinto de cero o variable elevado a la potencia de 0 es igual a 1.    

 

Cualquier número distinto de cero n y cualquier entero x, . Por ejemplo,

 

Nota que estas reglas dicen que la base, n, debe ser un "número distinto de cero". Cuando n es 0, n0 y n elevados a una potencia negativa no están definidos.

 

 

Veamos cómo simplificar una expresión algebraica con exponentes negativos en el numerador y el denominador. Es útil, especialmente al principio, separar las variables y simplificarlas individualmente:

 

Ejemplo

 

Problema

Simplificar

 

 

 

 

 

Reescribir como un producto de fracciones

 

 

Reescribir las variables con potencias negativas siguiendo la regla de los exponentes negativos:

 

 

 

Simplificar la división entre una fracción

 

 

 

Multiplicar las fracciones

 

Solución

 

 

 

 

Productos y Cocientes de Potencias

 

Ahora que hemos visto cómo simplificar variables con exponentes, aprendamos cómo multiplicarlas y dividirlas.

 

Empezaremos con encontrar el producto de dos términos exponenciales con la misma base. Para encontrar el producto de potencias con la misma base, sólo sumamos los exponentes y mantenemos la misma base. Considera el ejemplo .  Podríamos reescribir este problema de la siguiente manera:

 

 =  =  =

 

O podemos sumar los exponentes:

 

 =  =

 

El segundo método es más fácil.

 

La división con notación exponencial tiene una simplificación similar. Para encontrar el cociente de potencias que tengan la misma base, restamos los exponentes. A continuación se muestra cómo funciona:

 

Ejemplo

 

Problema

Simplificar

 

 

 

 

Reescribir en notación exponencial

 

Reescribir como producto de fracciones

 

Usar la Propiedad Asociativa para reagrupar factores

 

Como 

 

Producto de potencias

Solución

 

 

 

 

Aquí hay algunos ejemplos adicionales:

 

 

 

Reglas para Multiplicar y Dividir con Exponentes

 

Cuando multiplicamos dos términos que tienen la misma base, se suman los exponentes:

 

Cuando dividimos dos términos que tienen la misma base, se restan los exponentes en el denominador de los exponentes en el numerador:

 

Nota: 00 no está definido, por lo que las reglas no aplican en esa situación.

 

 

 

Simplificar la expresión

 

A)

 

B)

 

C)

 

D)

 

Mostrar/Ocultar la Respuesta

A) Incorrecto. Restaste los números, pero esa regla sólo aplica a los exponentes. Debes dividir 30 entre 5. La respuesta correcta es D) .

 

B) Incorrecto. Cuando divides, debes restar, no sumar, los exponentes. La respuesta correcta es D) .

 

C) Incorrecto. Cuando divides, debes restar, no dividir, los exponentes. La respuesta correcta es D) .

 

D) Correcto. Cuando se dividen dos términos en forma exponencial, divides los coeficientes y restas los exponentes de los términos con la misma base.

 

 

 

La Potencia de una Potencia

 

La notación exponencial es una forma más corta de escribir multiplicaciones repetidas. Cuando una expresión variable con exponentes es elevada a una potencia, podemos aplicar las reglas de la multiplicación de potencias:

 

 

Ejemplo

Problema

Simplificar

 

 

 

Escribir como factores

Reagrupar

 

Sumar los exponentes con la misma base

Solución

 

 

 

 

Funciona pero es complicado. Existe una forma más fácil. Nota que el exponente final de cada variable fue el producto del exponente dentro de los paréntesis, 1, y el exponente fuera de los paréntesis, 3. Para encontrar la potencia de una potencia, multiplica los exponentes.

 

Intentémoslo de nuevo:

 

Ejemplo

Problema

Simplificar  

 

 

Multiplicar los exponentes

 

 

Simplificar

 

 

Simplificar

 

Solución

 

 

 

¡Eso fue más rápido!

 

Potencia de una Potencia:

 

Para elevar una potencia a una potencia, se multiplican los exponentes.

 

 

 

Simplificar

 

A)

 

B)

 

C)

 

D)

 

Mostrar/Ocultar la Respuesta

A) Incorrecto. 33 = 27. La respuesta correcta es B) .

 

B) Correcto. Cuando buscas la potencia de una potencia, multiplicas los exponentes.

 

C) Incorrecto. Cuando buscas la potencia de una potencia, debes multiplicar, no sumar, los exponentes. La respuesta correcta es B) .

 

D) Incorrecto. 33 = 27, y cuando buscas la potencia de una potencia, debes multiplicar los exponentes, no escribirlos uno junto al otro. La respuesta correcta es B) .

 

 

Sumario

 

Las reglas de los exponentes aplican a números y a variables. En breve, estas reglas son:

 

Exponente 0 o 1 y Exponentes Negativos

 

Cualquier número o variable elevado a la potencia de 1 es el mismo número.  

 

Cualquier número distinto de cero o variable elevado al a potencia de 0 es igual a 1. 

 

Cualquier número distinto de cero n y cualquier entero x, . Por ejemplo,

 

Producto de una Potencia

 

Cuando multiplicamos dos términos que tienen la misma base, se suman los exponentes:

 

Cociente de una Potencia

Cuando dividimos dos términos que tienen la misma base, se resta el exponente en el denominador del exponente en el numerador:

 

Potencia de una Potencia:

 

Para elevar la potencia de una potencia, se multiplican los exponentes.

 

Las reglas de los exponentes proveen formas precisas y eficientes de simplificar variables en notación exponencial.