Problemas de Mezclas
Objetivos de Aprendizaje
· Explicar cómo las mezclas son un tipo de tasa.
· Usar sistemas de ecuaciones para describir y resolver problemas de mezclas.
Los problemas de mezclas son excelentes candidatos para ser resueltos como sistemas de ecuaciones. Estos problemas se dan en muchas situaciones, como cuando se combinan soluciones en un laboratorio de química o cuando se añaden ingredientes a una receta. Las mezclas (y problemas de mezclas) se forman cuando diferentes tipos de elementos se combinan para crear un tercer objeto "mezclado".
Aprender a pensar en las mezclas como un tipo de tasa es un paso importante cuando aprendemos a resolver este tipo de problemas. En cualquier situación en la que dos o más variables diferentes son combinadas para determinar una tercera hablamos de un tipo de tasa. La velocidad y el tiempo combinados nos dan la distancia. Salarios y horas trabajadas producen ganancias.
De manera similar, jugo de limón, azúcar y agua mezcladas, forman limonada. La acidez de la bebida dependerá de la proporción entre las cantidades que forman la mezcla. Eso es una relación de proporción. Un problema de mezcla de limonada nos podría preguntar cómo cambia la acidez cuando se añade agua pura o cuando diferentes mezclas de limonada son combinadas.
La manera de resolver la mayoría de los problemas de mezclas es tratarlos como problemas de tasas: identificar las variables, crear ecuaciones, y generar tablas para organizar la información y resaltar formas de resolver el problema.
Trabajemos con algunos problemas de mezclas: esto nos mostrará cómo pueden ser tratados como tasas. Empezaremos con una mezcla que contiene dos tipos de elementos con diferentes precios por unidad.
¿Cuántas libras de nueces de Castilla que cuestan $0.80 por libra deben mezclarse con 8 libras de nueces de la India que cuestan $1.25 por libra para crear una mezcla que cueste $1.00 por libra?
El primer paso aquí es determinar el contexto del problema y luego identificar la fórmula apropiada que relaciona toda la información. Tenemos dos tipos de nueces con diferentes precios por libra que son combinadas en una mezcla. El precio por libra de la mezcla está determinado por el radio de las dos nueces. Aquí, nuestro contexto es el costo total: queremos una mezcla que cueste $1.00/libra. Podemos relacionar lo que conocemos y lo que queremos averiguar sobre el costo total usando la ecuación "costo total = precio • cantidad".
Crearemos una tabla para llevar la relación de los costos de las diferentes nueces y de la mezcla:
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| Costo total($) | = | Precio ($/lb) | • | Cantidad (lbs) |
| Nueces de Castilla |
| = | 0.80 | • |
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| Nueces de la India |
| = | 1.25 | • | 8 |
| Mezcla Total |
| = | 1.00 | • |
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Nota que las columnas corresponden a los componentes de nuestra fórmula, y que las hemos llenado con la información dada en el problema.
El siguiente paso para resolver este problema es encontrar nuestras cantidades desconocidas. Conocemos la cantidad de nueces de Castilla en la mezcla (8 lbs), pero no conocemos la cantidad de nueces de la India, por lo que llamaremos a esa cantidad a. El costo total de las nueces de la India, entonces, será de 0.8a, porque las nueces de la India cuestan $0.80 por libra.
Podemos también encontrar el costo total de las nueces de la India si multiplicamos la cantidad de nueces (8 lbs.) por el precio por libra ($1.25 por libra). Encontramos que el costo total de las nueces de la India es de $10.
Pongamos toda esta información en nuestra tabla.
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| Costo total ($) | = | Precio ($/lb) | • | Cantidad (lbs) |
| Nueces de Castilla | 0.8a | = | 0.80 | • | a |
| Nueces de la India | 10 | = | 1.25 | • | 8 |
| Mezcla Total |
| = | 1.00 | • |
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Ahora que tenemos asignada una variable a la cantidad de nueces de Castilla, podemos usar estas relaciones existentes (y un poco de lógica) para averiguar cómo esto se relaciona con la mezcla total. La cantidad total de nueces en la mezcla será el número de libras de nueces de Castilla (a) mas el número de libras de nueces de la India (8), o a + 8. Y como sabemos que el precio de la mezcla será de $1.00 por libra, podemos determinar la cantidad total de la mezcla multiplicando la cantidad por el precio: 1.00(a + 8) = a + 8. Tuvimos un poco de suerte en este problema porque el precio es de $1.00 por libra; y como estamos multiplicando por 1, el costo total y la cantidad están representados como a + 8.
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| Costo total ($) | = | Precio ($/lb) | • | Cantidad (lbs) |
| Nueces de Castilla | 0.8a | = | 0.80 | • | a |
| Nueces de la India | 10 | = | 1.25 | • | 8 |
| Mezcla Total | a + 8 | = | 1.00 | • | a + 8 |
Hemos completado la tabla. Pero, ¿estamos más cerca de averiguar cuántas libras de nueces de Castilla necesitamos para la mezcla? Estamos muy cerca, de hecho. La clave del problema se encuentra en la columna del costo total, De la misma forma que la cantidad total de nueces en la mezcla puede ser determinado por la cantidad de nueces de Castilla + la cantidad de nueces de la India, el costo total de la mezcla (a + 8) debe ser la suma del costo total de las nueces de Castilla (0.8a) y el costo total de las nueces de la India (10) en la mezcla. Podemos igualar estas cantidades una con otra y luego resolver a.
| 0.8a + 10 | = | a + 8 |
| 0.8a + 10 − 0.8a | = | a + 8 − 0.8a |
| 10 | = | 0.2a + 8 |
| 10 − 8 | = | 0.2a + 8 − 8 |
| 2 | = | 0.2a |
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| = |
|
| 10 | = | a |
a = 10, por lo que debe haber 10 libras de nueces de Castilla en la mezcla.
Como es nuestro primer problema de mezclas y no estamos seguros de haberlo hecho correctamente, verifiquemos la respuesta. Calculamos que 10 libras de nueces de Castilla (la variable a) más 8 libras de nueces de la India nos darían una mezcla que cuesta $1.00/libra. Veamos si es cierto. 10 libras de nueces de Castilla a $0.80/libra cuestan $8. 8 libras de nueces de la India cuestan $10. Combinadas, resultan 18 libras de la mezcla por $18. Eso es una libra por dólar, precisamente lo que hemos estado buscando.
Bien. Hemos determinado la cantidad de nueces de Castilla en la mezcla creando una tabla, organizando nuestra información existente, y luego asignando una variable, a, para representar la cantidad desconocida (nueces de Castilla).
Luego reconocimos una relación equivalente en la tabla: el costo total de la mezcla debe ser igual que los costos combinados de las cantidades individuales que conforman la mezcla. La identificación de este hecho nos llevó a la ecuación 0.8a + 10 = a + 8, la cual nos ayudo a resolver a.
Fue complicado, pero nota que no necesitamos un sistema de ecuaciones para resolver este problema. Fuimos capaces de determinar todas las relaciones en términos de a, y nuestra ecuación 0.8a + 10 = a + 8 sólo tiene una variable. (Necesitamos usar un sistema de ecuaciones sólo si existen dos variables qué resolver.)
Crear y llenar una tabla para el siguiente problema, e identificar una ecuación para resolver:
¿Cuántas libras de granos de café de Kenya que cuestan $5.00 por libra deben ser mezclados con 8 libras de granos de café de Etiopía que cuestan $8.00 por libra para crear una mezcla que cueste $6.00 por libra?
Mezclas líquidas
Combinar líquidos de diferente salinidad o acidez es otro tipo de problema de mezclas. Estos problemas de mezclas liquidas tienen muchas aplicaciones en las ciencias, donde encontrar una solución con una concentración específica de químicos es importante para los experimentos.
Tratar con problemas de mezclas y conceptos como la acidez de un líquido puede ser confuso al principio porque es difícil visualizar que tan "ácido" es algo. Por lo que aquí hay una pequeña introducción sobre este tipo de problemas; el porcentaje de acidez nos dice cuánto ácido puro hay en una solución. Por ejemplo, si una solución es 10% ácida, un litro de solución tendría 0.1 litros de ácido puro. Una forma típica de representar con fórmula este tipo de problemas es Cantidad de ácido = Porcentaje de acidez • Cantidad de solución.
Necesitas 20 litros de una solución ácida al 20%. Tienes recipientes de solución al 10% y solución al 25%. ¿Cuántos litros de cada uno debes combinar para obtener la solución necesaria?
Podemos pensar en este problema de la misma forma que pensamos sobre los problemas de mezclas secas. Nuestra estrategia será identificar las cantidades que conocemos y luego usar variables (y cantidades basadas en esas variables) para encontrar el resto de las relaciones. Construiremos nuestra tabla con la fórmula Cantidad de ácido = Porcentaje de acidez • Cantidad de solución en mente.
Empecemos por crear una tabla y llenarla con la información proporcionada en el problema.
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| Cantidad de ácido (litros) | = | Acidez (%) | • | Cantidad de solución (litros) |
| Solución 1 |
| = | 10% | • |
|
| Solución 2 |
| = | 25% | • |
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| Mezcla |
| = | 20% | • | 20 |
A pesar de que la cantidad de ácido en la mezcla no nos fue dado explícitamente en el problema, podemos raídamente calcularlo multiplicando la cantidad de solución necesaria (20 litros) por la acidez (20%, o 0.2) que resulta en 4 litros de ácido.
Ahora necesitamos encontrar el resto de las relaciones. Usemos x para representar la cantidad de 10% de solución. Esto también significa que podemos usar 20 − x para representar la cantidad de 25% de solución, porque conocemos que la cantidad total de solución será de 20 litros.
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| Cantidad de ácido (litros) | = | Acidez (%) | • | Cantidad de solución (litros) |
| Solución 1 |
| = | 10% | • | x |
| Solución 2 |
| = | 25% | • | 20 − x |
| Mezcla | 4 | = | 20% | • | 20 |
Habiendo identificado las cantidades totales de cada solución, podemos multiplicar cada una por su acidez para obtener la cantidad de ácido en cada solución.
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| Cantidad de ácido (litros) | = | Acidez (%) | • | Cantidad de solución (litros) |
| Solución 1 | 0.1x | = | 10% | • | x |
| Solución 2 | 0.25(20 − x) | = | 25% | • | 20 − x |
| Mezcla | 4 | = | 20% | • | 20 |
Nuestra tabla ya está completa. Pero, ¿dónde está la relación que nos ayudará a descifrar este problema?
Revisemos cada columna para ver si hay alguna relación que podamos usar. La columna titulada "Cantidad de solución (litros)" no nos ayuda porque x + (20 − x) = 20 resulta 20 = 20, por lo que no nos sirve encontrar el valor de x. Tampoco nos sirve "Acidez (%)" porque x no está presente en esa columna.
Veamos la columna llamada "Cantidad de ácido (litros)". Sabemos que la cantidad de ácido en la mezcla debe ser equivalente a la suma de las cantidades de ácido en cada solución individual, entonces si igualamos estas cantidades la una con la otra, podemos encontrar el valor de nuestra variable x.
| 0.1x + 0.25(20 − x) | = | 4 |
| 0.1x + 5 − 0.25x | = | 4 |
| 5 − 0.15x | = | 4 |
| 5 − 5 − 0.15x | = | 4 − 5 |
| -0.15x | = | -1 |
|
| = |
|
| x | = |
|
Resolviendo x en la ecuación, la cantidad de Solución 1, encontramos que x = 
. Ahora podemos usar esta información para encontrar la cantidad de Solución 2, que llamamos 20 − x: 
, o 
litros.
De la misma manera que con nuestro problema de las nueces, vemos que la clave para preparar un problema de mezclas es identificar el contexto del problema, encontrar una fórmula que pueda ser usada para representar las relaciones, y luego usar cantidades conocidas y variables para llenar la tabla. Lo importante para resolver el problema es encontrar relaciones equivalentes que nos permitan resolver la variable.
Una Segunda Variable
Vale la pena mencionar que no hay una sola forma de solucionar estos problemas. Los métodos descritos arriba funcionan, pero pudiste notar que ambas soluciones usan sólo una variable. Algunas personas podrían considerar más fácil pensar en estos problemas en términos de dos cantidades desconocidas y tratar las ecuaciones resultantes como un sistema lineal de dos ecuaciones.
Por ejemplo, volvamos al problema de la mezcla seca de antes. Nuestra tabla final se veía así:
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| Costo total ($) | = | Precio ($/lb) | • | Cantidad (lbs) |
| Nueces de Castilla | 0.8a | = | 0.80 | • | a |
| Nueces de la India | 10 | = | 1.25 | • | 8 |
| Mezcla Total | a + 8 | = | 1.00 | • | a + 8 |
Pudo haber sido escrita usando dos variables. Pudimos haber conservado a como la cantidad de nueces de Castilla, pero usado b para la cantidad de la mezcla. Eso nos habría dado la tabla:
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| Costo total ($) | = | Precio ($/lb) | • | Cantidad (lbs) |
| Nueces de Castilla | 0.8a | = | 0.80 | • | a |
| Nueces de la India | 10 | = | 1.25 | • | 8 |
| Mezcla Total | b | = | 1.00 | • | b |
Usar una segunda variable cambia cómo resolvemos el problema, pero no cambia las relaciones fundamentales del problema. Nuestro sistema de ecuaciones se vería así:
| a + 8 = b |
| 0.8a + 10 = b |
Usaríamos el método de sustitución para obtener la siguiente ecuación:
| 0.8a + 10 = a + 8 |
Nota que esta es exactamente la misma ecuación que resolvimos la primera vez que solucionamos el problema.
También pudimos haber resuelto el problema de la acidez usando dos variables. Nuestra tabla final se veía así:
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| Cantidad de ácido (litros) | = | Acidez (%) | • | Cantidad de solución (litros) |
| Solución 1 | 0.1x | = | 10% | • | x |
| Solución 2 | 0.25(20 − x) | = | 25% | • | 20 − x |
| Mezcla | 4 | = | 20% | • | 20 |
En lugar de usar 20 − x para representar la cantidad de Solución 2, pudimos haber representado esa cantidad con la variable y.
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| Cantidad de ácido (litros) | = | Acidez (%) | • | Cantidad de solución (litros) |
| Solución 1 | 0.1x | = | 10% | • | x |
| Solución 2 | 0.25y | = | 25% | • | y |
| Mezcla | 4 | = | 20% | • | 20 |
Algunas personas prefieren este método porque usa diferentes variables para diferentes soluciones, y eso les ayuda a mantener a todos los jugadores en su sitio. Nuestro sistema se habría visto así:
| x + y = 20 |
| 0.1x + 0.25y = 4 |
Rearreglando la primera ecuación resultaría en y = 20 − x o x = 20 − y. Cualquiera de estas ecuaciones podría usarse para resolver el sistema usando el método de sustitución. Finalmente, nota que usando y = 20 − x recreamos la ecuación que desarrollamos cuando estábamos construyendo el sistema usando sólo una variable: 0.1x +0.25(20 − x) = 4.
La lección importante aquí es que hay más de una forma de resolver un problema de tasa. Puedes seguir cualquier método que tenga más sentido para ti.
Oren creó la siguiente tabla para resolver un problema de mezclas. Si esta tabla es una representación correcta del problema , ¿cuál de los siguientes problemas es el que está resolviendo?
Costo total ($) = Precio ($/lb) • Cantidad de dulces (lbs) Frijolitos de goma 0.5(p + 2) = p + 2 • 0.5 Ositos de goma 1.5p = p • 1.5 "Bolsa de gomitas" 10.00 = • 2
A) Un fabricante de dulces vende frijolitos de goma a $2 más baratos por libra que los ositos de goma. Una de sus ventas más populares se llama "bolsa de gomitas", y contiene 1.5 lb de frijolitos de goma y 0.5 lbs de ositos de goma. Se vende a $10. ¿Cuál es el precio de los ositos de goma?
B) Un fabricante de dulces vende frijolitos de goma a $2 más caros por libra que los ositos de goma. Una de sus ventas más populares se llama "bolsa de gomitas", y contiene algunos de frijolitos de goma y algunos ositos de goma. Se vende a $10. ¿Cuál es el precio de los ositos de goma?
C) Un fabricante de dulces vende frijolitos de goma a $2 más caros por libra que los ositos de goma. Una de sus ventas más populares se llama "bolsa de gomitas", y contiene 0.5 lb de frijolitos de goma y 1.5 lbs de ositos de goma. Se vende a $10. ¿Cuál es el precio de los ositos de goma?
D) Un fabricante de dulces vende frijolitos de goma a $2 más caros por libra que los ositos de goma. Una de sus ventas más populares se llama "bolsa de gomitas", y contiene 0.5 lb de frijolitos de goma y 1.5 lbs de ositos de goma. ¿En cuánto vende la "bolsa de gomitas"?
Sumario
Los problemas de mezclas son un subconjunto de los problemas de tasas. Para resolverlos, es importante reconocer primero el contexto en donde el problema ocurre, y luego identificar una fórmula que pueda ser usada para representar las diferentes cantidades (y tasa a las que esas cantidades ocurren) dentro del problema. Los problemas de mezclas normalmente pueden definirse en términos de una sola variable, aunque algunas personas prefieren representarlos con sistemas de dos variables.
