Problemas de Tasas

 

Objetivo de Aprendizaje

·         Usar sistemas de ecuaciones para describir y resolver problemas relacionados con tasas.

 

 

La tasa es una forma matemática de relacionar dos cantidades, que normalmente se miden en unidades diferentes. Un problema de tasas típico en los cursos de álgebra consiste en dos trenes hipotéticos que aceleran uno hacia el otro a diferentes velocidades, y de los que se pide determinar cuándo se encontrarán. Situaciones menos emocionantes, pero más comunes, consisten en calcular salarios o determinar el tiempo necesario para que un contenedor se llene o vacíe. El secreto para resolver problemas de tasas es crear un sistema de ecuaciones para representar la situación.

 

 

La velocidad es un tipo familiar de tasa. Unidades comunes que se usan para la velocidad incluyen las millas por hora, pies por segundo y — para cosas muy rápidas, como la luz — millas por segundo. A veces es útil pensar en una tasa como una razón entre dos cantidades. Puedes pensar en la velocidad como una razón entre la distancia y el tiempo.

 

¿Estás listo para un problema de tasas? Aquí va:

 

Dos trenes salen al mismo tiempo de estaciones separadas por 60 millas con dirección uno hacia el otro en vías paralelas. El Tren A viaja a una velocidad de 30 millas por hora, mientras que el Tren B viaja a 50 millas por hora. ¿Cuándo pasarán los trenes uno junto al otro?

 

La clave para resolver problemas de tasas es encontrar el contexto del problema y luego identificar una fórmula que relacione toda la información disponible del mismo. En este caso, nuestro contexto es la distancia: tenemos dos objetos viajando a diferentes velocidades y en direcciones opuestas. Podemos relacionar toda la información usando la fórmula simple: distancia = tasa • tiempo, o: d = rt.

 

Una técnica que puede ayudarnos a estructurar la información del problema es hacer una tabla. Esto nos ayudará a organizar nuestros datos y crear un sistema que podamos resolver. Hagamos una tabla con columnas para "Distancia", "Tasa" y "Tiempo" y una fila para cada tren. Podemos incluir la velocidad a la que cada tren se desplaza, ya que esta proporcionada en el problema.

 

 

Nota que las columnas "Distancia" y "Tiempo" están vacías por ahora. Las hemos dejado así porque las distancias y tiempos específicos de los trenes no nos fueron proporcionadas en el problema original, pero podemos usar un poco de lógica para encontrarlas.

 

El problema nos dice que las estaciones están separadas por 60 millas. Los trenes se encontrarán en algún punto entre las dos estaciones, por lo que podemos llamar a la distancia que recorre el "Tren A", "d", y a la distancia que recorre el "Tren B", "60 – d". Una forma de pensar en estas dos distancias, es: "El Tren A" viajará cierta distancia hasta el punto de encuentro, y el Tren B viajará una distancia diferente, y la distancia total será de 60 millas." Pongamos esta información en una tabla.

 

 

Finalmente, está la cuestión del tempo. El problema nos pide que encontremos cuándo será que los trenes pasen uno al lado del otro, y sabemos que esa cantidad es desconocida. Sin embargo, si los trenes salen al mismo tiempo de sus respectivas estaciones, entonces deben haber viajado el mismo lapso de tiempo cuando se encuentran, no importa qué tan rápido o lejos vaya cada uno. Como estos tiempos son equivalentes, podemos usar la misma variable, t, para ambos.

 

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Basados en esta nueva información, nuestra tabla se ve así:

 

 

Ahora tenemos nuestro sistema de ecuaciones. El Tren A está representado por la ecuación d = 30t, y el Tren B está representado por la ecuación 60 – d = 50t. Podemos usar el método de sustitución y sustituir 30t por d en la segunda ecuación, y luego resolver t.

 

 

Resulta que t = , por lo que los trenes se encontrarán  de hora (45 minutos) después de salir de su estación.

 

Los salarios proveen otro ejemplo comúnmente usado para explicar las tasas: representan la razón del dinero ganado por cierto lapso de tiempo trabajado.

 

Resolver problemas de salario es similar a resolver problemas de distancia. Aunque las unidades de medida para los dos problemas son diferentes, las ideas fundamentales de cómo se resuelven son las mismas. Como en el problema anterior, primero identificamos la fórmula que relaciona toda la información en el problema, y luego construimos una tabla para organizar los datos.

 

Dos compañeros de cuarto ahorran el salario de su trabajo de fin de semana para comprar una televisión. Uno de ellos gana $10/hr, mientras que el otro gana $8/hr. Entre los dos trabajaron por 43 horas y ganaron exactamente $400. ¿Durante cuánto tiempo trabajaron cada uno para ahorrar el dinero?

 

El problema nos pide el tiempo que cada compañero trabajó para ahorrar $400. Podemos encontrar la cantidad de dinero que ganaron usando la fórmula simple ganancia = salario • tiempo.

 

 

La única información específica a cada compañero que nos da el problema es su salario por hora, el cual hemos incluido en la tabla. También sabemos que ellos ganaron $400 entre los dos y que trabajaron 43 horas en total. ¿Cómo incluimos esa información en la tabla?

 

Empecemos con los $400 de ganancia totales. Sabemos que un compañero ganó una porción de esa cantidad y que el otro compañero ganó el resto. Entonces llamaremos a la ganancia del "Compañero 1" "e"; y a la ganancia del "Compañero 2" "400 − e". (Nota que esta es una asignación arbitraria y que pudimos haber llamado a la ganancia del "Compañero 2", e; y usado "400 − e" para representar la ganancia del "Compañero 1").

 

Podemos usar la misma lógica para las horas trabajadas. Ambos trabajaron por 43 horas — llamemos las horas del "Compañero 1", "t", y las horas del "Compañero 2" "43 − t". (Asignar la variable t al Compañero 1 y 43 − t al compañero 2 tiene el efecto de volver la sustitución una papa, como lo verás en un momento.)

 

Cuando ponemos toda esta información en la tabla, se ve impresionante:

 

 

Tuvimos que introducir dos variables en el problema, "e" y "t". Pero no hay problema porque las usamos para crear un sistema de dos ecuaciones: e = 10t y 400 − e = 8(43 − t). Ahora que tenemos nuestro sistema, podemos resolver la variable t, sustituyendo el valor de "e" de la primera ecuación en la segunda ecuación.

 

 

Encontramos que t = 28. Entonces, si el Compañero 1 trabajó por 28 horas, el tiempo que trabajó el Compañero 2, 43 − t, debe ser de 15 horas.

 

 

Los problemas de tasas normalmente pueden ser resueltos usando sistemas de ecuaciones. Un método efectivo es el de identificar una fórmula para el contexto del problema, hacer una tabla para recabar la información sobre la situación, y luego usar una sustitución para resolver el sistema de dos variables resultante.