Resolviendo y Graficando Desigualdades de Valor Absoluto

 

Objetivos de Aprendizaje

·         Resolver desigualdades de valor absoluto usando las Propiedades de la Desigualdad.

·         Representar desigualdades de valor absoluto en la recta numérica.

 

 

El valor absoluto de un valor o expresión describe su distancia de 0, pero elimina información sobre el signo del número o la dirección. El valor absoluto es siempre positivo o cero, y un valor absoluto positivo pudo resultar de un valor original positivo o negativo.

 

Cuando se resuelven y grafican desigualdades de valores absolutos, tenemos que considerar el comportamiento del valor absoluto y las Propiedades de la Desigualdad. Este tipo de desigualdades se comportan de manera interesante — empecemos.

 

 

Sabemos que el valor absoluto de un número es una medida de tamaño pero no de dirección. Por ejemplo, |27| y |-27| equivalen a 27 — el valor absoluto indica la distancia desde 0, pero no describe la dirección.

 

Si miramos el reporte del tiempo en las noticias, podríamos escuchar algo como: "Hoy, la temperatura máxima fue de 72°, pero tendremos una oscilación de 10° en la temperatura de mañana. Le daré más detalles después de estos mensajes." Basado en ésta información, la máxima de mañana podría ser de 62° u 82°. El hombre del tiempo ha dicho la diferencia entre temperaturas, pero no nos ha revelado en qué dirección cambiarán.

 

Encontrar el valor absoluto de números con signo puede ser muy fácil — sólo elimina cualquier signo negativo.

 

Considera |m| = 7.5. Sabemos el valor absoluto de m, pero el valor original pudo haber sido positivo o negativo. Por lo que en este caso decimos que m = 7.5 o -7.5. La gráfica de abajo muestra |m| = 7.5 en la recta numérica. Nota que hemos graficado las dos posibles soluciones.

 

 

 

 

Una vez que el signo de igual es reemplazado por una desigualdad, graficar valores absolutos cambia un poco. Volvamos al ejemplo anterior, |m| = 7.5, pero ahora cambia el signo de = a ≤. Ahora tenemos una desigualdad de valor absoluto: |m| ≤ 7.5.

 

Piensa en el reporte del tiempo: “Hoy en la tarde era de 0°, y la temperatura cambió por lo menos 7.5° desde entonces.” Nota que no se especifica en qué dirección se movió la temperatura, y no dice exactamente cuánto cambió — sólo dice que la temperatura cambió por lo menos 7.5°. Podemos representar ésta idea con la declaración |cambio en la temperatura| ≤ 7.5°.

 

Para averiguar el rango de valores de m que satisfacen la desigualdad, necesitamos evaluar ambas posibilidades para |m|: m podría ser positivo o negativo. Si m es positivo, entonces |m| y m son el mismo número.  Si m es negativo, entonces |m| es el opuesto de m, esto es, |m| es -m. Entonces en éste caso tenemos dos posibilidades, m ≤ 7.5 y -m ≤ 7.5. Necesitamos resolver ambas:

 

 

Es importante recordar algo: cuando multiplicas ambos lados de la desigualdad por un número negativo, como acabamos de hacer para convertir -m en m, el signo de desigualdad se invierte. Si se te olvida eso, estarás en problemas.

 

Entonces m puede ser menor o igual que 7.5, o mayor o igual que -7.5. Nota que el rango de soluciones incluye ambos puntos (-7.5 y 7.5) además de los puntos entre ellos. Aquí está la gráfica de la desigualdad en la recta numérica:

 

 

 

Podríamos decir que “m es mayor o igual que -7.5 y menor o igual que 7.5.” Si m es cualquier punto entre -7.5 y 7.5 incluido en la recta numérica, entonces la desigualdad |m| ≤ 7.5 será válida. Podemos escribir esto como -7.5 ≤ m ≤ 7.5. Esta notación ubica el valor de m entre esos dos números, justo como están en la recta numérica.

 

Veamos una situación diferente. Evaluaremos el valor absoluto de la desigualdad |g| > 4.

 

 

Encontramos que g puede ser mayor que 4 o menor que -4. Si graficamos estas dos posibilidades en la recta numérica, se vería así:

 

 

La gráfica muestra un rayo (una línea que inicia en un punto y que continúa hasta el infinito) empezando en -4 y que va hasta el infinito negativo, y otro rayo que empieza en +4 va hasta el infinito positivo. Podríamos decir "g es menor que -4 o mayor que 4." Esto puede ser escrito algebraicamente como -4 >g > 4. Esta notación nos dice que g puede tomar cualquier valor, menos el que hay entre esos números.

 

Nota la diferencia entre ésta gráfica y la gráfica de |m| ≤ 7.5. En |m| ≤ 7.5, el rango de posibilidades que satisfacen la desigualdad se encuentre entre los dos puntos. En |g| > 4, sin embargo, el rango de posibles soluciones se encuentra fuera de los puntos, y se extiende hasta el infinito en ambas direcciones.

 

Una forma rápida de identificar si la desigualdad de valor absoluto será graficada como un segmento entre dos puntos o como dos rayos que van en direcciones opuestas es ver la dirección del signo de la desigualdad en relación con la variable.

 

 

Por ejemplo, piensa en la desigualdad |x| ≤ 2, la cual podría representar a alguien paseando a su perro con una correa que mide dos pies. El perro puede jalar hacia adelante toda la longitud de la correa, o quedarse atrás hasta que la correa lo jala. Él no puede alejarse más de 2 pies de la persona en cualquier dirección. En otras palabras, el perro puede estar a una distancia menor o igual que la longitud de la correa. En el lenguaje del álgebra, la posición del perro puede ser descrita por la desigualdad -2 ≤ x ≤ 2. La constante es el valor máximo, y la gráfica será un segmento entre dos puntos.

 

Ahora considera la desigualdad opuesta, |x| ≥ 2. Imagina un estudiante que quiere ir a una universidad que esté a dos horas o más de su casa. El puede escoger una universidad tres horas al este, u otra cinco horas al oeste — el irá a donde sea, siempre y cuando esté por lo menos a dos horas. No hay límite superior para qué tan lejos irá. En términos matemáticos, la situación se puede escribir como la desigualdad -2 ≥ x ≥ 2. La constante es el valor mínimo, y la gráfica de ésta situación será dos rayos que apuntan hacia el infinito negativo y positivo y excluyen cada valor que esté a 2 del origen.

 

 

 

 

Las mismas Propiedades de la Desigualdad aplican cuando resolvemos una desigualdad de valor absoluto de la misma manera que una desigualdad normal. La principal diferencia es que en una desigualdad de valor absoluto, necesitas evaluar la desigualdad dos veces para tomar en cuenta la posibilidad de que la variable sea positiva o negativa.

 

Empecemos con un ejemplo de un paso: 3|h| < 21. El primer paso es despejar el término de valor absoluto. Podemos hacer eso dividiendo ambos lados entre 3, de la misma forma que haríamos con una desigualdad normal.

 

 

Con la desigualdad en su forma simple, podemos evaluar el valor absoluto como h < 7 y h > -7. El rango de posibles soluciones de la desigualdad 3|h| < 21 es todos los números desde -7 hasta 7 (sin incluir -7 y 7).

 

 

 

Y ¿qué pasa con el caso donde hay más de un término dentro del valor absoluto, como en la desigualdad: |p + 8| > 5? Resolvamos ésta también.

 

 

 

Para que la desigualdad sea válida, encontramos que p debe ser mayor que -3 o menor que -13. Esto significa que la gráfica de la desigualdad tendrá dos rayos que van en direcciones opuestas, como se muestra abajo.

 

 

 

Veamos un ejemplo más: 56 ≥ 7|5 − b|. Ya que el término de valor absoluto es menor que el término constante, podemos esperar que la solución sea del tipo "y": un segmento entre dos puntos de la recta numérica.

 

 

 

Encontramos que b ≥ -3 y b ≤ 13, por lo que cualquier punto que esté entre -3 y 13 (incluyendo esos puntos) será una solución del problema.

 

 

 

 

Una desigualdad define un rango de valores posibles para una relación matemática. El rango de una desigualdad de valor absoluto está definido por dos posibilidades — la variable original puede ser positiva o puede ser negativa. Es por eso que debemos evaluarlas dos veces, una para el término positivo, y otra para el término negativo.

 

La gráfica del conjunto de soluciones de una desigualdad de valor absoluto tendrá un segmento entre dos puntos de la recta numérica, o dos rayos que van en direcciones opuestas desde dos puntos en la recta numérica. Cualquier punto sobre el segmento o sobre los rayos satisface la desigualdad original.