Escribiendo, Resolviendo y Graficando Desigualdades de una Variable

 

Objetivos de Aprendizaje

·         Resolver desigualdades algebraicas de una variable usando una combinación de las propiedades de la desigualdad.

·         Representar desigualdades en la recta numérica.

 

 

Algunas veces encontrar un rango de valores posibles para una situación es más apropiado que encontrar un valor individual. Cuando vas conduciendo por la autopista y ves la señal "Límite de Velocidad 65", sabes que no significa que debes conducir a 65 mph. Podrías ir a 64 o incluso a 59.5. A una velocidad de 55 tal vez te toquen algunos bocinazos y gestos enojados, pero nadie te multa. Hay todo un rango de velocidades a las que tienes permitido conducir, no sólo una. En casos como este donde hay más de una respuesta correcta, usamos desigualdades, no ecuaciones, para representar la situación.

 

Las desigualdades son declaraciones matemáticas que definen un rango de valores. Son fácilmente reconocibles porque contienen los símbolos <, ≤, >, o ≥.

 

 

Las desigualdades sin distintas a las ecuaciones, aunque puedes aplicar lo que sabes de ecuaciones para ayudarte a entender desigualdades. Las desigualdades y las ecuaciones son ambas declaraciones matemáticas que comparan dos valores.

 

Una ecuación contiene el símbolo =, que liga dos expresiones que tienen el mismo valor. Ya estas familiarizado con ecuaciones como estas:

 

26 = 21 + 5

y = 3x + b

5t = 2(t + 3)

 

Incluso sin resolverlas, sabes que la cantidad de lado izquierdo del signo igual tiene el mismo valor que la cantidad del lado derecho.

 

Las desigualdades son distintas. En una desigualdad, un lado de la desigualdad puede ser mayor o menor que la cantidad del otro lado. Los símbolos matemáticos <, ≤, >, y ≥ proveen información sobre los tamaños relativos de las dos expresiones.

 

 

 

Lo importante sobre las desigualdades es que tienen muchas posibles soluciones. Por ejemplo, la desigualdad “50 ≥ número de estrellas en la bandera de Estados Unidos” es una declaración válida para cada bandera Americana que ha ondeado — ninguna bandera ha tenido más de 50 estrellas. También es cierto para la bandera diseñada en 1777 (13 estrellas, 50 ≥ 13), y como se veía en 1850 (30 estrellas, 50 ≥ 30), y como se ve ahora (50 estrellas, 50 ≥ 50).

 

Nota que la desigualdad x > y también puede escribirse como y < x. Los lados de cualquier desigualdad pueden cambiar de lugar siempre y cuando el símbolo de desigualdad también sea volteado.

 

Una forma de representar desigualdades es usando la recta numérica. En los ejemplos de abajo, los rangos de valores válidos para la desigualdad se muestran en rojo. Un punto abierto se usa para representar relaciones < y >; este símbolo indica que el punto sobre la recta numérica no está incluido dentro del rango de valores posibles de la desigualdad. Un punto cerrado se usa para representar ≤ y ≥, cuando los dos lados de la desigualdad podrían ser iguales.

 

Stan tiene más de $3.50 en su bolsillo.

 

 

 

La temperatura es mayor que -4º y menor que 12º.

 

 

 

t ≤ 19

 

 

 

Al igual que con las ecuaciones, existen las Propiedades de la Desigualdad que nos permiten trabajar con éste tipo de relaciones.

 

Propiedades de Suma y Resta de la Desigualdad Si a > b, entonces a + c > b + c Si a > b, entonces a − c > b − c

 

Empecemos con la suma y la resta de la desigualdad simple a > b. Si queremos sumar una cantidad c al lado izquierdo, también tenemos que sumarla del lado derecho para mantener válida la desigualdad. Podemos escribir ésta propiedad como:

 

Si a > b, entonces a + c > b + c.

 

La edad de las personas es un buen ejemplo para describir ésta propiedad. Por ejemplo, imagina que conoces a dos personas: Adam y Bernard. Sabes que Adam es mayor que Bernard (pero no sabes por cuántos años). Dentro de cierto número de años a partir de hoy, ¿Adam seguirá siendo mayor que Bernard? ¡Por supuesto! Adam es mayor y ambos envejecen al mismo tiempo. De forma algebraica, podrías representar ésta desigualdad como:

 

Si la edad de Adam > la edad de Bernard,

entonces la edad de Adam + algunos años > la edad de Bernard + el mismo número de años

 

La Propiedad de la Resta es similar. Si tenemos de nuevo la desigualdad a > b y restamos c de a, entonces también debemos restar c de b para mantener la relación. Podemos escribir ésta propiedad como:

 

Si a > b, entonces a − c > b − c.

 

El ejemplo de las edades también te puede ayudar a entender ésta relación: Si Adam es mayor que Bernard ahora, entonces hace 5 años Adam era también mayor que Bernard (porque Bernard era también 5 años más joven). Podrías representar éste desigualdad como:

 

Si la edad de Adam > la edad de Bernard,

entonces la edad de Adam − 5 años > la edad de Bernard − 5 años

 

 

No es de extrañar que haya también Propiedades de la Desigualdad para la Multiplicación y la División. Volvamos a nuestra relación estándar a > b para ver cómo funcionan éstas.

 

Propiedades de Multiplicación y División de la Desigualdad Si a > b, entonces ac > bc, si c > 0 Si a > b, entonces ac < bc, si c < 0   Si a > b, entonces , si c > 0 Si a > b, entonces , si c < 0

 

Una recta numérica puede ayudarnos a modelar lo que pasa cuando c > 0, así como por qué el signo de la desigualdad se "voltea" cuando c < 0.

 

Grafiquemos en la recta numérica los enteros 5 y 2. Sabemos que 5 > 2. ¿Qué pasa si multiplicamos ambos números por el mismo valor c? El ejercicio de abajo nos ayudará. En ésta recta numérica, los puntos B y A son nuestros valores originales de 2 y 5. A > B.

 

Ahora movamos la barra deslizante marcada como c para ver qué pasa cuando multiplicamos ambos número por la misma cantidad.

 

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Si tenemos que c = 0.5, podemos ver que 2.5 > 1, y AC > BC. La desigualdad se ha mantenido. A pesar de que éste es un simple ejemplo, es válido para todos los valores donde c > 0. Esto normalmente se escribe como:

 

Si a > b, entonces ac > bc, si c > 0.

 

Si tomamos los mismos dos números y los multiplicamos por -0.5, sucede algo distinto. El valor resultante de AC (-2.5), queda más hacia la izquierda que el valor de BC (-1). La desigualdad se ha invertido, y AC < BC. Ese patrón es válido para todas las desigualdades — si son multiplicadas por un número negativo, la desigualdad se voltea. Esto se escribe formalmente como:

 

Si a > b, entonces ac < bc, si c < 0.

 

La Propiedad de División de la Desigualdad funciona de la misma manera. Si dividimos ambos lados entre un número positivo, la desigualdad de conserva. Matemáticamente:

 

Si a > b, entonces , si c > 0.

 

Si dividimos ambos lados de la desigualdad entre un número negativo, la desigualdad se invierte.

 

Si a > b, entonces , si c < 0.

 

 

 

Las Propiedades de la Desigualdad serán útiles cuando quieras resolver problemas. Por ejemplo, aquí hay un problema donde podemos usar la Propiedad de Resta para ayudarnos a encontrar un rango de posibles soluciones:

 

En 7 años, Ellie tendrá edad suficiente para votar en una elección (Debes tener por lo menos 18 años para votar). ¿Qué puedes decir sobre su edad actual?

 

Podríamos escribir ésta desigualdad como: e + 7 ≥ 18, donde e representa la edad de Ellie. Podemos entonces usar la Propiedad de Resta de la Desigualdad para resolver e.

 

 

Entonces la edad actual de Ellie debe ser por lo menos 11 si ella será capaz de votar en 7 años. Nota que no estamos diciendo que Ellie tiene 11 años — ella podría tener 11, o podría tener 32, o 55. Ella podría tener cualquier edad siempre y cuando ésa edad sea 11 años o más.

 

Veamos otro ejemplo:

 

En la desigualdad -4y > 30, resolver y.

 

Para resolver este problema, debemos despejar la variable y, de la misma forma que para resolver una ecuación. Podemos hacer esto si dividimos ambos lados de la desigualdad entre -4. De la Propiedad de División de la Desigualdad, sabemos que si dividimos ambos lados de una desigualdad por un número menor que 0, la desigualdad se invierte, por lo que debemos ser cuidadosos de cambiar el símbolo.

 

 

Tenemos nuestra respuesta: y < -7.5. Pero debemos revisar por lo menos un valor para asegurarnos que nuestra respuesta es correcta. Escogemos un valor de y que sea menor que -7.5 y lo sustituimos en la desigualdad original a ver si funciona. Usaremos el valor de -10:

 

 

Ya que 40 es mayor que 30, -4y > 30 es válida para y = -10. Basados en nuestra prueba, podemos sentirnos seguros de que nuestra respuesta es correcta. Cualquier valor menor que -7.5 satisface la desigualdad.

 

Como hemos visto, podemos resolver desigualdades simples siempre y cuando usemos las Propiedades de la Desigualdad para ayudarnos a determinar la dirección del símbolo de desigualdad.

 

 

Resolver desigualdades es muy similar a resolver ecuaciones — lo que hagamos en un lado debemos hacerlo también en el otro lado para mantener el "balance" de la desigualdad. Las Propiedades de la Desigualdad nos pueden ayudar a entender cómo sumar, restar, multiplicar, o dividir en una desigualdad.

 

De la misma forma que las desigualdades de un paso, podemos resolver desigualdades de dos pasos manipulando la desigualdad de tal forma que despejemos la variable. Observa cómo resolver un problema en dos pasos:

 

	Resolver k.
	Sumar  a cada lado para despejar el término 2k.
	Combinar términos semejantes.
	Dividir ambos lados entre 2 para despejar k.
	La solución.

 

De la misma manera que las desigualdades de un paso, debemos siempre sustituir valores en la desigualdad originar para probar nuestra respuesta. En este problema hemos encontrado que , por lo que debemos escoger un valor menor que . Escojamos el valor de 0. Sustituye el valor en la ecuación original y ve si funciona.

 

Sí funcionó, ¿verdad? Nos salió a la primera.

 

 

 

 

Las desigualdades modelan problemas que tienen un rango de respuestas válidas. Pueden ser descritas en la recta numérica, y pueden ser manipuladas para simplificarlas o resolverlas. Cuando se resuelven desigualdades, es importante seguir las Propiedades de la Desigualdad:

 

Propiedades de Suma y Resta de la Desigualdad

Si a > b, entonces a + c > b + c

Si a > b, entonces a - c > b − c

 

Propiedades de Multiplicación y División de la Desigualdad

Si a > b, entonces ac > bc, si c > 0

Si a > b, entonces ac < bc, si c < 0

 

Si a > b, entonces , si c > 0

Si a > b, entonces , si c < 0

 

Estas propiedades nos ayudan a manipular apropiadamente el símbolo de la desigualdad. La desigualdad se mantiene con la suma, la resta, y la multiplicación y división de números positivos. La desigualdad se invierte al multiplicar o dividir entre números negativos.