Representando Funciones y Relaciones

 

Objetivos de Aprendizaje

·         Definir, comparar y reconocer relaciones y funciones.

·         Representar relaciones y funciones con gráficas, tablas y conjuntos de pares ordenados.

 

Introducción

 

El álgebra es una herramienta poderosa para describir y explorar relaciones.

 

Imagina que lanzas una pelota directamente hacia arriba, mírala elevarse, detenerse y caer de regreso en tu mano. Mientras pasaba el tiempo, la altura de la pelota cambió, creando una relación entre la cantidad de tiempo que estuvo en el aire y su altura.

 

En matemáticas, una asociación entre variables que cambian juntas (como el tiempo y la altura) se llama relación.

 

Definición de Función

 

Hay muchos tipos de relaciones. Entre las más importantes relaciones algebraicas están las funciones. Una función es una relación en la cual una variable especifica un valor determinado de otra variable. Por ejemplo, cuando avientas la pelota, cada segundo que pasa tiene una y sólo una altura correspondiente. El tiempo sólo avanza hacia adelante, y nunca se repite. La altura de la pelota depende de qué tanto tiempo ha pasado desde que dejó tu mano. Ésta es una relación en una sola dirección — a pesar de que cada momento del tiempo es único, es posible que la pelota esté a una altura particular más de una vez cuando va hacia arriba y cuando va hacia abajo. El saber el tiempo te dará la altura, pero el saber la altura no te dará el tiempo.

 

Las partes de una función se llaman entradas y salidas. Una entrada es la cantidad independiente que no se repite. La salida es la cantidad dependiente. El valor de la salida depende del valor de la entrada. Para cada entrada, hay una salida única. En el caso de aventar la pelota al el aire, el tiempo es la entrada y la altura es la salida.

 

Veamos algunos ejemplos para familiarizarnos con reconocer qué es una función y qué no lo es. ¿Recuerdas la última vez que estuviste en un estacionamiento? No te sorprendería saber que hay una relación entre el número de carros y el número de llantas que hay ahí — el número de carros y el número de llantas están ligados. ¿Es esta relación una función? ¿Puedes utilizar el número de carros para encontrar el número de llantas?

 

Claro que puedes. Cada carro tiene 4 llantas, entonces el número de llantas depende de cuántos carros hay en el estacionamiento. Cada entrada de carros especifica una sola salida posible de llantas. (En éste ejemplo, la relación de llantas a carros es también una función — el número de llantas también especifica el número de carros.)

 

Ahora considera una relación diferente, entre casas y la gente que vive en ellas. Si una dirección es la entrada, y la salida el número de ocupantes, ¿es la relación también una función? Piensa en tu propio apartamento — las personas que se encuentran en él ¿son siempre las mismas?

 

No. Aquella vez que fuiste de campamento, la ocupación cambió. Cada vez que invitaste a un amigo, también cambió. Como una dirección puede producir más de un conjunto de ocupantes, la relación no es una función.

 

He aquí una regla útil que usamos para reconocer funciones: Si aplicas la entrada más de una vez, ¿hay garantía de que siempre obtendrás la misma salida? Con los carros y las llantas, la respuesta es sí, Para una entrada de 25 carros siempre obtendremos una salida de 100 llantas, no importa qué 25 carros entran al estacionamiento o cuándo lo hacen. La relación es una función.

 

Con las casas y los ocupantes, la entrada de una dirección no es garantía de que se producirá siempre la misma salida, porque las personas pueden ir y venir. La relación no es una función.

 

¿Cuál de las siguientes situaciones describe una función?

 

A) Tu edad y tu peso en tu cumpleaños cada año.

B) El nombre de un curso y el número de estudiantes inscritos en él.

C) El diámetro de una galleta y el número de choco chispas en ella.

 

Mostrar/Ocultar la Respuesta

A) Tu edad y tu peso en tu cumpleaños cada año.

Correcto. La edad sólo aumenta mientras que el peso puede fluctuar. En cada cumpleaños tienes un sólo peso (sin contar el pastel y el helado), por lo que para cada entrada, sólo hay una salida.

 

B) El nombre de un curso y el número de estudiantes inscritos en él.

Incorrecto. Un curso tendrá diferente número de alumnos en diferentes semestres y en diferentes escuelas. Una sola entrada del nombre del curso producirá diferentes salidas de asistentes. La respuesta correcta es la edad de una persona y su peso en su cumpleaños cada año.

 

C) El diámetro de una galleta y el número de choco chispas en ella.

Incorrecto. Aunque entre más grande es una galleta, más choco chispas es capaz de contener, el número exacto en una galleta de cierto tamaño varía según la receta y qué tanto la masa es mezclada. Una sola entrada de tamaño de galleta producirá diferentes salidas de choco chispas. La respuesta correcta es la edad de una persona y su peso en su cumpleaños cada año.

 

 

 

Graficando Funciones

 

Cuando la cantidad independiente (entrada) y la cantidad dependiente (salida) son ambas números reales, una función puede ser representada por una gráfica de coordenadas. El valor independiente se grafica en el eje x y el valor dependiente es trazado en el eje y. El hecho de que cada valor de entrada tiene exactamente un valor de salida significa que las gráficas de funciones tienen ciertas características. Para cada entrada (coordenada x) en la gráfica, habrá exactamente una salida (coordenada y).

 

Por ejemplo, la gráfica de ésta función, dibujada en azul, parece un semicírculo. Sabemos que y es una función de x porque por cada coordenada x hay exactamente una coordenada y.

 

 

 

Si trazamos una línea vertical a través de la gráfica, sólo intersecta la función una vez para cada valor de x. Esto es válido sin importar por dónde la línea es trazada. Dibujar una línea sobre una gráfica es una buena forma de determinar si nos muestra una función.

 

Compara la gráfica anterior con ésta, que parece un círculo azul. La relación no puede ser una función, porque a cada coordenada x le corresponden dos coordenadas y.

 

 

 

Cuando una línea vertical es trazada sobre la gráfica de ésta relación, la intersecta en más de un valor de x. Si la gráfica muestra dos o más intersecciones con una línea vertical, entonces una entrada (coordenada x) puede tener más de una salida (coordenada y), y y no es una función de x.

 

¿Es la relación mostrada en la gráfica una función?

 

 

 

Mostrar/Ocultar la Respuesta

Si, la gráfica es una función. Cada coordenada x tiene exactamente una coordenada y.

 

 

 

Funciones en Forma de Tabla

 

Las tablas también pueden ser usadas para describir funciones. Comparemos tablas de funciones con tablas de relaciones que no son funciones.

 

Esta tabla representa una función. Ninguno de los valores independientes (x) están repetidos y cada uno corresponde a un solo valor dependiente (y).

 

x

y

 -1

3

-2

5

-3

3

-5

-3

 

La siguiente tabla no representa a una función. La columna x tiene dos valores que son 3, y corresponden a dos valores diferentes de y. Recuerda, cuando una sola entrada puede producir múltiples salidas, la relación no es una función.

 

x

y

3

-1

5

-2

3

-3

-3

-5

 

 

¿Cuál de las siguientes tablas representa a una función?

 

A)

 

B)

 

C)

 

Mostrar/Ocultar la Respuesta

La respuesta correcta es A. Ninguno de los valores de x esta repetido, y a cada valor de x le corresponde un solo valor de y.

 

 

Funciones como Conjuntos de Pares Ordenados

 

Las funciones también pueden ser representadas por pares de valores de x y y, entradas y salidas. Podemos obtener pares de tablas y gráficas, y usar paréntesis para mantenerlos juntos.

 

Regresemos a ésta tabla de una función:

 

x

y

 -1

3

-2

5

-3

3

-5

-3

 

Cada fila en la tabla describe un par ordenado de ésta forma: una x de -1 corresponde a una y de 3, resultando el par ordenado (-1, 3). Una x de -2 corresponde a una y de 5, por lo que el par ordenado es (-2, 5). La tabla completa nos da el conjunto de pares ordenados:

 

{(-1, 3), (-2, 5), (-3, 3), (-5, -3)}

 

Para mostrar que los cuatro pares ordenados pertenecen al mismo conjunto, los agrupamos separados cada uno por comas y dentro de corchetes. De la misma forma que con otros métodos para representar relaciones, podemos revisar las características de un conjunto de pares ordenados para determinar si es una función. Ya que el primer valor de cada par es la entrada y el segundo es la salida, podemos explorar el conjunto para ver si cada entrada está asociada con una sola salida. Si lo está, el conjunto es una función.

 

O podemos trazar los puntos en un eje de coordenadas para una revisión visual. Aquí podemos ver que en el conjunto de nuestros pares ordenados, cada valor x/entrada/independiente tiene uno y sólo un valor y/salida/dependiente:

 

 

 

Otro conjunto de pares ordenados: {(3,-1),(5,-2),(3,-3),(-3,5)} una de las entradas, 3, puede producir dos salidas diferentes, -1 y -3.  Ya sabes lo que significa — éste conjunto de pares ordenados no es una función. Una gráfica lo puede confirmar:

 

 

 

Nota que la línea vertical pasa a través de dos puntos. Una coordenada x tiene múltiples coordenadas y. Eso también significa que la relación no es una función.

 

 

¿Cuál de los siguientes es un conjunto de pares ordenados que representa a una función?

 

A) {2, 4, 4, 8, 8,16, 16, 32}

B) {(0, 0), (1, 1), (1, -1), (2, 2), (2, -2)}

C) (4, 2), (5, 1), (6, 0), (7, -1), (8, -2)

D) {(-2, 2), (-1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 2)}

 

Mostrar/Ocultar la Respuesta

A) {2, 4, 4, 8, 8,16, 16, 32}

Incorrecto. Éstos números no están agrupados como pares ordenados. Sin la notación apropiada, es imposible saber cuáles valores son entradas y cuáles son salidas. La respuesta correcta es {(-2, 2), (-1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 2)}.

 

B) {(0, 0), (1, 1), (1, -1), (2, 2), (2, -2)}

Incorrecto. Algunas coordenadas x están repetidas y tienen diferentes coordenadas y. Esta no es una función. La respuesta correcta es {(-2, 2), (-1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 2)}.

 

C) (4, 2), (5, 1), (6, 0), (7, -1), (8, -2)

Incorrecto. Aunque ninguna coordenada x esta repetida y cada una tiene exactamente una coordenada y el conjunto no esta agrupado entre corchetes. Sin la notación adecuada, éste grupo de números no es considerado un conjunto. La respuesta correcta es {(-2, 2), (-1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 2)}.

 

D) {(-2, 2), (-1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 2)}

Correcto. Ninguna coordenada x está repetida y cada una tiene exactamente una coordenada y por lo tanto, es una función.

 

 

Rectas Horizontales y Verticales — ¿Son Funciones o No?

 

Hay dos casos especiales de relaciones y son las rectas horizontales y las rectas verticales. ¿Son funciones?

 

Empecemos con la recta horizontal. Una recta en el eje de coordenadas es horizontal cuando cada coordenada x tiene la misma coordenada y. No hay coordenadas x con más de una coordenada y, y cada entrada siempre produce la misma salida. Por lo tanto, todas las rectas horizontales representan a una función.

 

 

 

Ahora considera la recta vertical. En ésta situación, cada coordenada y tiene la misma coordenada x. La entrada nunca cambia, pero la salida cambia constantemente. Ya que el mismo valor de x tiene diferentes valores de y, una recta vertical no puede representar una función.

 

 

 

Sumario

 

En la vida real y en el álgebra, diferentes variables a veces están ligadas. Cuando las variables cambian juntas, su interacción se llama relación. Cuando una variable determina el valor exacto de una segunda variable, la relación se llama función. Las funciones pueden ser reconocidas, descritas y examinadas de varias maneras, incluyendo gráficas, tablas y conjuntos de pares ordenados.