Patrones Inductivos
Objetivos de Aprendizaje
· Reconocer patrones en secuencias de números, objetos geométricos y reales.
· Aplicar el razonamiento inductivo para predecir el valor de términos desconocidos en una secuencia.
Introducción
Algunas personas definen las matemáticas como el estudio de los patrones. Los patrones abundan en nuestro mundo — en la naturaleza, en el comportamiento de las personas, y en la tecnología. Las curvas de una concha de caracol y las espirales que forman los estambres de un girasol forman patrones.
Pero, a pesar de que esos patrones son fáciles de ver, muchas veces necesitamos de las matemáticas para describirlos y explorarlos. No fue sino hasta que los patrones de crecimiento de organismos como flores y caracoles fueron medidos matemáticamente, los biólogos se dieron cuenta que sus espirales son regulares y están diseñadas para ser eficientes — concentran la mayor cantidad posible de material en el mínimo espacio.
El estudio matemático de patrones es una herramienta analítica poderosa para entender nuestro mundo.
Pongamos atención a un patrón visual para ver cómo las matemáticas nos pueden ayudar a entenderlo y hacer uso de él.
Mario es un diseñador de ropa Quiere decorar cinturones con un patrón triangular hecho de tiras de cuero. Antes de empezar a fabricar los cinturones, Mario quiere saber cuántas tiras va a necesitar para cada longitud de cinturón. Comenzará por contar el número de tiras de cuero necesarias para las primeras etapas del patrón.
Para formar un triángulo, él usa 3 tiras, una de cada lado. Mario crea un segundo triángulo junto al primero añadiendo otras 2 tiras de cuero. El lado derecho del primer triángulo actúa como el lado izquierdo del segundo triángulo. Entonces necesita 5 tiras para crear un diseño de 2 triángulos. Para añadir un tercer triángulo, Mario añade una vez más 2 tiras a un lado de un triángulo ya existente, para un total de 7 tiras. El cuarto triángulo necesita otras 2 tiras, aumentando la cuenta a 9.
En éste punto, Mario se da cuenta que no necesita seguir contando — una vez que se forma el primer triángulo, cada triángulo adicional necesita 2 tiras extra. Ha encontrado un patrón matemático para sus diseños.
Mario puede usar palabras para describir el aumento de tiras que necesita para hacer más triángulos. También puede describirlo como una secuencia matemática — una lista ordenada de números. La secuencia de números que describe la cantidad de tiras necesarias para los primeros 4 triángulos del diseño del cinturón es 3, 5, 7, 9.
La secuencia matemática de Mario: 3, 5, 7, 9
Los números que conforman una secuencia se llaman términos. En ésta secuencia, hay cuatro números, lo que significa que hay 4 términos. El 1er término es 3, el 2do término es 5, el 3er término es 7, y 9 es el 4to término.
| Término | Valor |
| 1ro | 3 |
| 2do | 5 |
| 3ro | 7 |
| 4to | 9 |
Aunque Mario sólo ha contado suficientes tiras para hacer 4 triángulos, él sabe que puede hacer más con añadir 2 tiras extra por cada triángulo adicional. Sin tener que hacer más triángulos, él puede predecir que el siguiente término de la secuencia matemática va a ser 2 más que el anterior. Como 4 triángulos necesitan 9 tiras de cuero, 5 triángulos necesitarán 11 tiras.
La secuencia matemática de Mario: 3, 5, 7, 9, 11
Mario está usando lo que llamamos razonamiento inductivo — él asume que el patrón que ha descubierto continuará creciendo de la misma forma. Su razonamiento es que después de 11, el siguiente término será 13, seguido de 15 y así sucesivamente. El razonamiento inductivo nos permite predecir el comportamiento de patrones más allá de lo que podemos ver. En ésta secuencia, el valor de los primeros 4 términos se determinan observando, y los siguientes 3 términos se determinan razonando.
La secuencia matemática de Mario: 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, …
En matemáticas, usamos 3 puntos al final de una secuencia para indicar que el patrón continúa indefinidamente.
¿Cuáles son el 6to y el 7mo términos de la siguiente secuencia? Utiliza el razonamiento inductivo para encontrar la respuesta.
2, 12, 22, 32, …
A) 6, 7
B) 42, 52
C) 52, 62
D) 62, 72
Prediciendo Términos Futuros
Mario ha aprendido que hay dos formas para encontrar cuántas tiras de cuero necesita para decorar cinturones de diferentes longitudes. Puede reproducir el patrón físicamente con tiras de cuero y contar el número de tiras que lo conforman. Para un patrón de 10 triángulos, la suma es 21.
3 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2+ 2+ 2+ 2+ 2 = 21
También puede escribir la secuencia matemática que describe el patrón de tiras y contar el número de términos para encontrar el total de tiras necesarias. El 10mo término en la secuencia, que representa un patrón de 10 triángulos es también 21.
3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, …
Existe una tercera forma, un atajo de las estrategias de conteo que utiliza la multiplicación. El patrón de Mario comienza con 3 y luego crece repetidamente añadiendo 2 tiras. Una suma repetida en secuencia como ésta puede ser descrita como una multiplicación. Mario puede escribir un ecuación simple que describe el patrón: 3 + 2(número de triángulos adicionales). Para formar un patrón de 10 triángulos, se empieza con 3 tiras y luego se añaden 2 tiras 9 veces. 3 + 2(9) es 21, obteniendo la misma respuesta que con los métodos anteriores que fueron más lentos.
3 + 2(9) = 21
Patrones Complejos
Algunos patrones son simples, muestran cambios constantes de un término al otro. Por ejemplo, las decoraciones de los cinturones de Mario muestran un patrón simple: Se añaden 2 tiras por cada nuevo triángulo. Muchos otros patrones cambian en formas más complicadas. Veamos un ejemplo.
Sophie tiene que leer 48 páginas para su tarea de Inglés. Empieza a leer a las 6:00p.m. La primera hora lee la mitad de su tarea. Luego empieza a mandar textos a sus amigas, y como resultado empieza a leer cada vez menos. Desde ése momento, lee sólo la mitad del resto de las páginas.
Escribamos la secuencia matemática que describe el patrón de lectura de Sophie. Cada término en la secuencia será el número de páginas que quedan por leer.
Ella comienza con 48 páginas, luego lee la mitad en la primera hora. Entonces, a las 7:00, Sophie ha leído 24 páginas, y le quedan otras 24 para terminar.
48, 24
A las 8:00, Sophie ha leído la mitad de las 24 páginas, lo que significa que le quedan 12 por leer.
48, 24, 12
A las 9:00, la mitad de ésas páginas han sido leídas, y la otra mitad no — eso es 6.
48, 24, 12, 6
A las 10:00, lee la mitad de las 6 páginas, quedando 3 para terminar.
48, 24, 12, 6, 3
A las 11:00, Sophie ha leído otra mitad de las 3 páginas y decide irse a dormir y terminar las 1 ½ páginas durante el desayuno. Buenas noches, Sophie!
48, 24, 12, 6, 3, 1.5
La lectura de Sophie formó un patrón en el cual cada término es la mitad del término anterior, Éste tipo de patrones son un poco más difíciles de reconocer, pero también se pueden describir matemáticamente y predecir usando razonamiento inductivo.
Una secuencia matemática inicia con 4 y cada uno de los números siguientes es 3 veces más grande que el número que lo precede. ¿Cuál de las siguientes secuencias representa ésta descripción?
A) 4, 34, 334, 3334
B) 4, 7, 10, 13
C) 4, 8, 16, 20
D) 4, 12, 36, 108
Sumario
Como hemos aprendido, las matemáticas proveen una forma útil de explorar patrones, ya sean pequeños y familiares como una flor o exóticos como la forma de una galaxia. Usando matemáticas y razonamiento inductivo, secuencias simples y complejas se pueden describir de manera precisa y también predecir más allá de lo que se puede ver y contar.
