Ecuaciones con Valores Absolutos

 

Objetivo de Aprendizaje

·         Encontrar todas las soluciones posibles a ecuaciones con valores absolutos que tienen variables y términos variables.

 

 

El valor absoluto describe la magnitud de un número o la distancia entre puntos, pero ignora la información del signo del número o la dirección de una distancia. Un valor absoluto positivo puede representar ya sea un valor original positivo o negativo. Cuando simplificamos o resolvemos ecuaciones que incluyen expresiones con valores absolutos, debemos considerar ambas posibilidades.

 

Las expresiones con valores absolutos pueden incluir no sólo números, sino también variables. Esto añade otro detalle qué tomar en cuenta al momento de evaluar dichas expresiones.

 

 

Veamos la ecuación simple |x| = 3. Para resolver una ecuación como ésta, con una variable dentro de barras de valor absoluto, debemos reconocer los dos posibles casos y resolver cada uno de ellos.

 

La expresión dentro de las barras de valor absoluto podría ser positiva. En tal caso, equivale al valor absoluto: x = 3.

 

O la expresión podría ser negativa, En tal caso, el valor original de la expresión es el opuesto del valor absoluto: -(x) = 3. Para obtener el valor de x, podemos multiplicar cada lado de la ecuación por -1 y obtenemos: x = -3.

 

Por lo que resolver la ecuación para x nos da más de una respuesta correcta. Éste es generalmente el caso para ecuaciones que incluyen el valor absoluto de una variable: tienen más de una solución.

 

Indicamos esto numéricamente haciendo una lista de todas las respuestas correctas, separadas por una coma. En éste ejemplo |x| = 3, la solución es x = -3, 3.

 

Para mostrar las soluciones en una recta numérica, ponemos un punto en ambas posiciones.

 

 

 

 

Una expresión que está dentro de las barras de valor absoluto puede ser más complicada que una simple variable, Cuando éstas expresiones incluyen otros valores y operaciones, debemos tener mucho cuidado, especialmente cuando resolvemos sus opuestos.

 

Para resolver |-2x| = 8, por ejemplo, debemos considerar dos posibilidades — que la expresión dentro de las barras de valor absoluto, -2x, sea positiva o negativa.

 

Si la expresión -2x es positiva, entonces

-2x = 8

Para resolver x, podemos dividir entre -2 cada lado de la ecuación y obtenemos

x = -4

 

Si la expresión -2x es negativa, entonces

-(-2x) = 8

Para resolver x, multiplicamos -2x por -1 y obtenemos

2x = 8

Luego dividimos cada lado de la ecuación entre 2 para obtener

x = 4

 

Entonces, la solución de |-2x| = 8 es

x = -4, 4

 

Nota lo cuidadosos que debemos ser con los signos positivo y negativo cuando trabajamos con valores absolutos en una expresión algebraica. No podemos distraernos cuando vemos signos negativos dentro de las barras de valor absoluto. Debemos también resolver para el caso en que toda la expresión dentro de las barras de valor absoluto es positiva, y también, para el caso de que sea negativa.

 

 

 

 

El valor absoluto cambia el valor de la expresión dentro de él. El valor absoluto de cualquier expresión es positivo o cero.

 

Cuando tenemos el valor absoluto de una expresión que contiene una variable, no sabemos si la variable es positiva o negativa. Ambos casos satisfacen la ecuación, por lo que debemos encontrar ambas soluciones.