Álgebra — Abordando Problemas

 

Objetivos de aprendizaje

·         Estudiar las propiedades de los números reales y el orden de las operaciones.

·         Desarrollar una estrategia para la solución de problemas algebraicos.

 

 

El  Álgebra es una herramienta poderosa para resolver problemas y obtener conocimiento. Pero como cualquier otra habilidad, se requiere tiempo para dominarla. A medida que avances, que no te sorprenda o desaliente el encontrar ideas y situaciones que te confunden. Después de todo, el mundo es grande y complicado, por lo que tomará algo más que matemática simple para entenderlo.

 

Por suerte, hay un método paso a paso para abordar cualquier situación algebraica. Cuando te encuentres con un problema, sólo respira profundamente, sigue los pasos que te presentamos a continuación y encontrarás la solución.

 

 

A veces, especialmente cuando estés más familiarizado con el álgebra, verás un problema y sabrás exactamente qué hacer. En otras ocasiones, te toparás con un problema que te toma por sorpresa y no sabrás siquiera cómo empezar. Ya sea que el camino a la solución sea obvio o no, existen una serie de pasos que te ayudarán a encontrar la dirección correcta:

 

 

 

1) Entender el problema: Comprende dónde estás y a dónde necesitas llegar antes de empezar a trabajar. Observa cuidadosamente el problema para asegurarte que entiendes bien la pregunta. Identifica las cantidades conocidas así como las no conocidas (incógnitas), Empieza a pensar en las técnicas que podrían ser útiles y el tipo de respuestas que esperas encontrar.

 

2) Buscar patrones familiares: Utiliza tu experiencia como guía. ¿Has visto problemas similares? ¿Hay algo en la forma de la ecuación o de la gráfica que te sea familiar? Si puedes comparar fórmulas o términos con problemas que has resuelto antes, es muy probable que puedas utilizar la misma estrategia.

 

3) Dividir el problema: A veces, un problema grande y complicado no es nada más que un conjunto de varias preguntas pequeñas y simples. Fíjate si hay piezas que puedas separar y trabajar en ellas individualmente. Tal vez no puedas encontrar todas las variables al mismo tiempo, pero podrías encontrarlas una por una. Una vez que hayas resuelto las partes fáciles, las respuestas que obtuviste te pueden ayudar a solucionar el resto del problema. ¡Divide y vencerás!

 

4) Visualizar: Una imagen vale más que mil palabras. A veces, una descripción verbal o una ecuación no se entienden fácilmente. Un bosquejo rápido o una gráfica bien diseñada pueden mostrar asociaciones e ideas de manera más clara que las palabras o los números. Un cuadro, una tabla o un diagrama pueden mostrar una mejor interpretación de la situación. Cuando creas una representación visual del problema, te permites una forma alternativa de buscar respuestas.

 

5) Probar diferentes técnicas: Si en un principio no tienes éxito, intentarlo e intentarlo de nuevo. Habrá momentos en los que el primer enfoque que pruebas no te lleva a ningún lado. No te rindas y trata de otra forma. Piensa en la razón por la que una técnica no funcionó, puede ser que te haya dado una respuesta pero no la que estabas buscando. ¿Te quedaste atorado a la mitad del proceso porque no tenías suficiente información? Tal vez necesitas asegurarte de que entendiste bien el problema.

 

6) ¡No darse por vencido!: La verdad está ahí. Si lo sigues intentando y varías tu método la encontrarás. Tómate un momento y vuelve a analizar el problema con otros ojos. Trata revisando tus notas. ¡Eventualmente encontrarás la respuesta!

 

 

Si alguna vez has jugado un videojuego o empacado una maleta para un viaje largo, sabrás que el orden y la ubicación de los objetos hacen la diferencia en el resultado. Algunas cosas pueden ser cambiadas de lugar a donde sea conveniente, mientras que otras sólo pueden acomodarse de cierta manera.

 

El arreglo de números y variables en una expresión algebraica funciona de la misma forma. Algunas veces, la situación nos permite cambiar valores y operaciones. Otras, se requiere que los números sean manejados de cierta manera o el proceso resultará erróneo. La habilidad de jugar con las partes de una ecuación (o no) se describe como propiedades matemáticas.

 

Las mismas propiedades que aprendiste cuando estudiaste aritmética también son válidas en el álgebra. Si ha pasado tiempo desde que las estudiaste, revisa las propiedades siguientes para refrescar tu memoria.

 

Propiedad Asociativa

 

La Propiedad Asociativa describe cómo la asociación o agrupamiento de números y variables puede ser cambiada en expresiones y ecuaciones.

 

La Propiedad Asociativa de la Suma nos dice que los números en una suma pueden ser operados en cualquier orden y la expresión sigue siendo válida:

 

Para todos los números reales a, b, y c, (a + b) + c = a + (b + c)

 

La Propiedad Asociativa de la Multiplicación establece que los números en una multiplicación pueden ser operados en cualquier orden y el valor de la expresión no cambia:

 

Para todos los números reales a, b, y c, (ab)c = a(bc)

 

Sin embargo, la Propiedad Asociativa no funciona para la resta o la división. En esos casos, el orden en que las operaciones son realizadas afectará el valor de la expresión.

 

Propiedad Conmutativa

 

La Propiedad Conmutativa describe cómo los números y variables pueden moverse o conmutarse dentro de las expresiones y ecuaciones.

 

La Propiedad Conmutativa de la Suma dice que cuando dos valores son sumados, el cambiar su lugar en la expresión, no afecta el resultado de la suma:

 

Para todos los números reales a y b, a + b = b + a

 

La Propiedad Conmutativa de la Multiplicación establece que los números en una expresión de multiplicación pueden también ser cambiados de lugar sin afectar el valor de la misma:

 

Para todos los números reales a y b, ab = ba

 

Sin embargo, la Propiedad Conmutativa no es válida para la resta o la división. En esos casos, el orden en el cual las operaciones son interpretadas afecta el valor de la expresión.

 

Propiedad Distributiva

 

La Propiedad Distributiva nos permite distribuir o extender el proceso de multiplicación en una expresión o ecuación:

 

Para todos los números reales a, b, y c,

 

La Propiedad Distributiva es una de las herramientas más importantes del álgebra. Proporciona una manera de reordenar expresiones con muchas variables, paréntesis y operaciones. Esto permite resolver problemas complejos de manera más fácil.

 

Propiedades de la Igualdad

 

La igualdad, representada por el símbolo =, nos dice que los dos lados de una expresión algebraica tienen el mismo valor. La igualdad tiene varias propiedades que son útiles al resolver ecuaciones algebraicas. Estas propiedades aplican a las 4 operaciones matemáticas. Nos permite sumar, restar, multiplicar y dividir expresiones mientras se mantiene la igualdad de una ecuación.

 

La Propiedad Aditiva de la Igualdad nos permite sumar la misma cantidad a ambos lados de una ecuación:

 

Para los números reales a, b, y c, si a = b, entonces a + c = b + c

 

La Propiedad Multiplicativa de la Igualdad nos permite multiplicar ambos lados de una ecuación por la misma cantidad:

 

Para los números reales a, b, y c, si a = b, entonces ac = bc

 

La Propiedad de Resta de la Igualdad nos permite restar la misma cantidad a ambos lados de una ecuación:

 

Para los números reales a, b, y c, si a = b, entonces a - c = b - c

 

La Propiedad de División de la Igualdad nos permite dividir ambos lados de una ecuación entre la misma cantidad:

Para los números reales a, b, y c, si a = b y c no es 0, entonces

 

Propiedad de Identidad

 

La Propiedad de Identidad describe números que pueden ser sumados o multiplicados con otros números sin cambiar el valor de los mismos. Las identidades le permiten a un término mantener su valor incluso después de la suma o la multiplicación. Si realizas una operación a un número con una identidad, el resultado será el número original.

 

La Propiedad de Identidad de la Suma establece que cualquier número más cero es igual al número:

 

Para todos los números reales de a, a + 0 = a

 

Ya que al sumar cero no se afecta el valor o identidad de un número, 0 es considerado identidad aditiva.

 

La Propiedad de Identidad de la Multiplicación establece que cualquier número multiplicado por 1 es igual al número:

 

Para todos los números reales de a, a • 1 = a

 

Como la multiplicación por 1 no afecta el valor del número o la variable, 1 es considerado identidad multiplicativa.

 

Propiedad Inversa

 

La Propiedad Inversa implica la suma para obtener 0 y la multiplicación para obtener 1. La palabra inversa significa invertir o voltear.

 

La Propiedad Inversa de la Suma nos dice que cualquier número sumado al negativo de ese número resultará 0:

 

Para cada número a, a + (-a) = 0

 

Como calculamos el inverso aditivo de un número repitiendo el número pero con el signo opuesto, el inverso aditivo es llamado también opuesto.

 

La Propiedad Inversa de la Multiplicación establece que cualquier número multiplicado por 1 dividido entre el mismo número, resultará 1:

 

Para cada número a,

 

El inverso multiplicativo de cualquier número o variable es simplemente el mismo número pero volteado. A éste valor también se le llama recíproco.

 

 

Una ecuación algebraica típica incluye varias operaciones. ¿Dónde empezar cuando te encuentras con una expresión llena de sumas y restas, multiplicaciones y divisiones, exponentes, radicales, paréntesis y corchetes? ¡El Orden de Operaciones te da la respuesta! En él se especifica el orden en que se han de realizar las operaciones en una expresión o ecuación. De la misma forma que las propiedades de los números reales aplican tanto en la aritmética como en el álgebra.

 

En caso de que andes un poco oxidado en el Orden de Operaciones, aquí está un recordatorio:

 

 

 

El Orden de Operaciones es comúnmente llamado PEMDAS, donde cada letra representa el nombre de una operación. Este truco nos permite recordad la secuencia correcta a seguir.

 

 

PEMDAS nos dice exactamente qué pasos a seguir para la evaluación de las expresiones. Es como darles a todos indicaciones idénticas de cómo llegar a un mismo lugar. Si damos las mismas vueltas y en el mismo orden, debemos todos terminar en el mismo punto.

 

 

Los problemas de álgebra son más fáciles de entender y resolver cuando estableces una estrategia para trabajar en ellos. Primero, ¡recuerda tu aritmética! Las mismas propiedades de los números reales y el orden de las operaciones de cuando sólo tenías números también aplican para ecuaciones con variables.

 

Segundo, ¡no te sientas intimidado! Los problemas de álgebra tienen sus respuestas, y tú las puedes encontrar. Tómate tu tiempo para examinar el problema detenidamente para asegurarte que entiendes lo que debes hacer. Busca patrones familiares o pistas. Divide el problema en piezas más pequeñas que sean más fáciles de resolver. Visualiza la situación haciendo dibujos o gráficas. Si no encuentras la respuesta la primera vez, regresa y aplica un método diferente pero sobre todo, no te rindas. Los errores no son más que topes en tu camino hacia la respuesta correcta.